Номер 6.58, страница 137 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Колебания и волны. Глава 6. Волны. Электромагнитные волны - номер 6.58, страница 137.

Условие.

6.58. Плоская гармоническая электромагнитная волна (длина волны $\lambda$) распространяется в вакууме вдоль оси $\text{X}$. В некоторый момент времени модуль напряжённости электрического поля достиг максимума в точке $x = 0$. Через какой минимальный промежуток времени модуль индукции магнитного поля в этой точке достигнет:

а) минимума;

б) максимума?

Решение.

Дано:

Плоская гармоническая электромагнитная волна.
Длина волны: $\lambda$
Среда: вакуум (скорость распространения волны равна скорости света $\text{c}$)
В момент времени $t_0 = 0$ в точке $x = 0$ модуль напряженности электрического поля максимален: $|E(0, 0)| = E_{max}$.

Найти:

Минимальный промежуток времени $\Delta t$, через который в точке $x = 0$ модуль индукции магнитного поля достигнет:
а) минимума ($\Delta t_{min}$)
б) максимума ($\Delta t_{max}$)

Решение:

В плоской гармонической электромагнитной волне, распространяющейся в вакууме, колебания векторов напряженности электрического поля $\vec{E}$ и индукции магнитного поля $\vec{B}$ происходят синфазно (в одной фазе). Это означает, что они одновременно достигают своих максимальных и минимальных (нулевых) значений.

Зависимость напряженности электрического поля и индукции магнитного поля от времени $\text{t}$ в фиксированной точке пространства (в данном случае $x=0$) можно описать гармоническими функциями. Согласно условию, в начальный момент времени $t=0$ модуль напряженности электрического поля $|E|$ максимален. Выберем начало отсчета времени так, чтобы фаза колебаний в этот момент была равна нулю. Тогда зависимость полей от времени в точке $x=0$ можно записать как:

$E(t) = E_{max} \cos(\omega t)$

$B(t) = B_{max} \cos(\omega t)$

где $\omega$ — циклическая частота колебаний. Из этого следует, что в момент времени $t=0$ модуль индукции магнитного поля $|B|$ также достигает своего максимального значения $|B(0)| = B_{max}$.

Период колебаний $\text{T}$ связан с длиной волны $\lambda$ и скоростью света в вакууме $\text{c}$ соотношением $T = \frac{\lambda}{c}$. Циклическая частота, в свою очередь, связана с периодом: $\omega = \frac{2\pi}{T} = \frac{2\pi c}{\lambda}$.

а) Найдем минимальный промежуток времени $\Delta t_{min}$, через который модуль индукции магнитного поля $|B|$ достигнет своего минимума. Минимальное значение модуля любого вектора равно нулю.

Нам нужно найти наименьшее положительное время $\text{t}$, для которого $|B(t)| = 0$.

$|B_{max} \cos(\omega t)| = 0$

Это равенство выполняется, когда $\cos(\omega t) = 0$. Ближайший к $t=0$ положительный корень этого уравнения соответствует условию:

$\omega t = \frac{\pi}{2}$

Отсюда находим искомый промежуток времени:

$\Delta t_{min} = t = \frac{\pi}{2\omega}$

Подставим выражение для циклической частоты через период, $\omega = \frac{2\pi}{T}$:

$\Delta t_{min} = \frac{\pi}{2(2\pi/T)} = \frac{T}{4}$

Теперь выразим ответ через данные в условии задачи, используя $T = \frac{\lambda}{c}$:

$\Delta t_{min} = \frac{1}{4} \frac{\lambda}{c} = \frac{\lambda}{4c}$

Это время соответствует четверти периода колебаний.

Ответ: $\Delta t_{min} = \frac{\lambda}{4c}$

б) Найдем минимальный промежуток времени $\Delta t_{max}$, через который модуль индукции магнитного поля $|B|$ снова достигнет своего максимума.

В начальный момент времени $t=0$ модуль $|B|$ уже был максимален. Нам нужно найти следующий момент времени $t > 0$, когда $|B(t)|$ снова станет равен $B_{max}$.

$|B(t)| = |B_{max} \cos(\omega t)| = B_{max}$

Это равенство выполняется, когда $|\cos(\omega t)| = 1$. Такое условие достигается, когда аргумент косинуса $\omega t$ равен $n\pi$, где $\text{n}$ — целое число ($0, 1, 2, ...$).

Случай $n=0$ дает $\omega t = 0$, что соответствует начальному моменту времени $t=0$. Следующий момент времени, когда модуль достигнет максимума, соответствует $n=1$:

$\omega t = \pi$

Отсюда находим искомый промежуток времени:

$\Delta t_{max} = t = \frac{\pi}{\omega}$

Подставим выражение для циклической частоты $\omega = \frac{2\pi}{T}$:

$\Delta t_{max} = \frac{\pi}{2\pi/T} = \frac{T}{2}$

Выразим ответ через длину волны $\lambda$ и скорость света $\text{c}$:

$\Delta t_{max} = \frac{1}{2} \frac{\lambda}{c} = \frac{\lambda}{2c}$

Это время соответствует половине периода колебаний.

Ответ: $\Delta t_{max} = \frac{\lambda}{2c}$