Номер 6.63, страница 137 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Колебания и волны. Глава 6. Волны. Электромагнитные волны - номер 6.63, страница 137.

Условие.

6.63. Найдите длину излучаемой волны, если сила тока в открытом колебательном контуре изменяется по закону:

a) $i = 0,1\cos 6 \cdot 10^5\pi t \text{ (A)}$;

б) $i = 0,05\sin 100\pi t \text{ (A)}$;

в) $i = 0,3\sin 15,7t \text{ (A)}$.

Решение.

Дано:

Законы изменения силы тока в открытом колебательном контуре:

а) $i = 0,1 \cos(6 \cdot 10^5 \pi t)$ (А)

б) $i = 0,05 \sin(100 \pi t)$ (А)

в) $i = 0,3 \sin(15,7 t)$ (А)

Скорость света в вакууме $c = 3 \cdot 10^8$ м/с.

Все величины представлены в системе СИ.

Найти:

Длину излучаемой волны $\lambda$ для каждого случая ($\lambda_a, \lambda_b, \lambda_c$).

Решение:

Длина электромагнитной волны $\lambda$, излучаемой открытым колебательным контуром, связана с периодом $\text{T}$ и частотой $\nu$ колебаний в контуре соотношениями: $\lambda = cT$ и $\lambda = c/\nu$.

Уравнение гармонических колебаний силы тока в общем виде записывается как $i = I_m \cos(\omega t + \phi_0)$ или $i = I_m \sin(\omega t + \phi_0)$, где $\omega$ – циклическая (угловая) частота.

Циклическая частота связана с периодом и линейной частотой формулами $\omega = 2\pi/T = 2\pi\nu$.

Из этих соотношений можно выразить длину волны через циклическую частоту. Поскольку $\nu = \omega / (2\pi)$, то формула для длины волны примет вид:

$\lambda = \frac{c}{\nu} = \frac{c}{\omega / (2\pi)} = \frac{2\pi c}{\omega}$

Найдем длину волны для каждого случая, определив циклическую частоту $\omega$ из заданного уравнения для силы тока.

а) Уравнение изменения силы тока: $i = 0,1 \cos(6 \cdot 10^5 \pi t)$.

Сравнивая это уравнение с общей формой $i = I_m \cos(\omega t)$, находим циклическую частоту:

$\omega_a = 6 \cdot 10^5 \pi$ рад/с.

Теперь вычислим длину волны:

$\lambda_a = \frac{2\pi c}{\omega_a} = \frac{2\pi \cdot 3 \cdot 10^8 \text{ м/с}}{6 \cdot 10^5 \pi \text{ рад/с}} = \frac{6\pi \cdot 10^8}{6\pi \cdot 10^5}$ м $= 10^3$ м $= 1000$ м.

Ответ: 1000 м (или 1 км).

б) Уравнение изменения силы тока: $i = 0,05 \sin(100 \pi t)$.

Сравнивая это уравнение с общей формой $i = I_m \sin(\omega t)$, находим циклическую частоту:

$\omega_b = 100 \pi$ рад/с.

Вычислим длину волны:

$\lambda_b = \frac{2\pi c}{\omega_b} = \frac{2\pi \cdot 3 \cdot 10^8 \text{ м/с}}{100 \pi \text{ рад/с}} = \frac{6\pi \cdot 10^8}{100\pi}$ м $= \frac{6 \cdot 10^8}{100}$ м $= 6 \cdot 10^6$ м $= 6000$ км.

Ответ: $6 \cdot 10^6$ м (или 6000 км).

в) Уравнение изменения силы тока: $i = 0,3 \sin(15,7 t)$.

Сравнивая это уравнение с общей формой $i = I_m \sin(\omega t)$, находим циклическую частоту:

$\omega_c = 15,7$ рад/с.

Вычислим длину волны, используя значение $\pi \approx 3,14$:

$\lambda_c = \frac{2\pi c}{\omega_c} \approx \frac{2 \cdot 3,14 \cdot 3 \cdot 10^8 \text{ м/с}}{15,7 \text{ рад/с}} = \frac{18,84 \cdot 10^8}{15,7}$ м $\approx 1,2 \cdot 10^8$ м.

Можно также заметить, что $15,7 \approx 5 \cdot 3,14 = 5\pi$. Если использовать это приближение, расчет упрощается:

$\lambda_c = \frac{2\pi c}{5\pi} = \frac{2c}{5} = \frac{2 \cdot 3 \cdot 10^8 \text{ м/с}}{5} = \frac{6 \cdot 10^8}{5}$ м $= 1,2 \cdot 10^8$ м.

Ответ: $1,2 \cdot 10^8$ м.