Номер 6.47, страница 135 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Колебания и волны. Глава 6. Волны. Механические волны - номер 6.47, страница 135.

Условие.

6.47*. Чему равна разность фаз в точках стоячей волны, колеблющихся между соседними узлами? В каких фазах колеблются точки стоячей волны по обе стороны одного и того же узла (не далее $\lambda/2$ от него)?

Решение.

Чему равна разность фаз в точках стоячей волны, колеблющихся между соседними узлами?

Решение
Стоячая волна образуется в результате наложения двух бегущих навстречу друг другу когерентных волн. Уравнение смещения $\text{y}$ точки среды с координатой $\text{x}$ в момент времени $\text{t}$ для стоячей волны можно записать в виде:
$y(x, t) = (2A \sin(kx)) \cos(\omega t)$
где $\text{A}$ — амплитуда бегущих волн, $k = 2\pi/\lambda$ — волновое число, $\omega$ — циклическая частота.
Выражение в скобках $A_s(x) = 2A \sin(kx)$ представляет собой амплитуду колебаний в точке с координатой $\text{x}$. Узлы стоячей волны — это точки, в которых амплитуда колебаний всегда равна нулю: $A_s(x) = 0$. Это условие выполняется при $kx = n\pi$, где $\text{n}$ — целое число, откуда координаты узлов $x_n = n \frac{\lambda}{2}$.
Рассмотрим две произвольные точки, расположенные между двумя соседними узлами, например, между узлами с координатами $x_n = n \frac{\lambda}{2}$ и $x_{n+1} = (n+1) \frac{\lambda}{2}$. Для всех точек $\text{x}$ в этом интервале $(x_n, x_{n+1})$ аргумент синуса $\text{kx}$ находится в пределах от $n\pi$ до $(n+1)\pi$. В таком интервале функция $\sin(kx)$ не меняет свой знак (она либо везде положительна, либо везде отрицательна).
Поскольку множитель $\cos(\omega t)$ одинаков для всех точек волны в любой момент времени $\text{t}$, а амплитудный множитель $A_s(x)$ имеет одинаковый знак для всех точек между двумя соседними узлами, то все эти точки колеблются с одинаковой фазой. Это означает, что они одновременно достигают своих максимальных отклонений и одновременно проходят положение равновесия. Следовательно, разность фаз между ними равна нулю.
Ответ: Разность фаз в точках стоячей волны, колеблющихся между соседними узлами, равна нулю. Все эти точки колеблются синфазно (в одной фазе).

В каких фазах колеблются точки стоячей волны по обе стороны одного и того же узла (не далее λ/2 от него)?

Решение
Рассмотрим две точки, расположенные по разные стороны от одного и того же узла с координатой $x_n = n \frac{\lambda}{2}$. Пусть одна точка имеет координату $x_1$, находящуюся в интервале $(x_{n-1}, x_n)$, а вторая — координату $x_2$, находящуюся в интервале $(x_n, x_{n+1})$. Условие "не далее $\lambda/2$ от него" как раз и означает, что точки находятся в соседних с узлом сегментах.
Как было показано ранее, амплитудный множитель $A_s(x) = 2A \sin(kx)$ определяет амплитуду и начальную фазу колебаний в точке. При переходе через узел (точку, где $kx = n\pi$) функция $\sin(kx)$ меняет свой знак на противоположный.
Это означает, что для точек $x_1$ и $x_2$, расположенных в соседних сегментах, разделенных узлом, амплитудные множители $A_s(x_1)$ и $A_s(x_2)$ будут иметь противоположные знаки.
Если смещение в точке $x_1$ равно $y(x_1, t) = A_s(x_1) \cos(\omega t)$, то смещение в точке $x_2$ будет $y(x_2, t) = A_s(x_2) \cos(\omega t)$. Поскольку знаки $A_s(x_1)$ и $A_s(x_2)$ противоположны, колебания происходят в разные стороны от положения равновесия.
Используя тригонометрическое тождество $-\cos(\alpha) = \cos(\alpha + \pi)$, можно показать, что фазы колебаний этих точек отличаются на $\pi$:
Если $A_s(x_1) > 0$, то $A_s(x_2) < 0$, и уравнения движения можно записать как:
$y(x_1, t) = |A_s(x_1)| \cos(\omega t)$
$y(x_2, t) = -|A_s(x_2)| \cos(\omega t) = |A_s(x_2)| \cos(\omega t + \pi)$
Таким образом, колебания в точке $x_2$ сдвинуты по фазе на $\pi$ радиан (или 180°) относительно колебаний в точке $x_1$. Это означает, что когда точки в одном сегменте достигают максимального смещения в одну сторону, точки в соседнем сегменте достигают максимального смещения в противоположную сторону.
Ответ: Точки стоячей волны по обе стороны одного и того же узла колеблются в противофазе (разность фаз равна $\pi$).