Номер 7.126, страница 162 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Колебания и волны. Глава 7. Геометрическая оптика. Преломление света. Полное внутреннее отражение - номер 7.126, страница 162.

Условие.

7.126. Прямоугольный стеклянный сосуд наполнен жидкостью и освещён снизу лампочкой, расположенной под дном сосуда вблизи его дна. Каково минимальное значение показателя преломления жидкости $\text{n}$, при котором лампочку нельзя увидеть сквозь боковые стенки сосуда?

Решение.

Дано:

Прямоугольный стеклянный сосуд, наполненный жидкостью.

Источник света (лампочка) находится в воздухе под дном сосуда.

Показатель преломления жидкости – $\text{n}$.

Показатель преломления воздуха – $n_{воздуха} = 1$.

Найти:

Минимальное значение показателя преломления жидкости $n_{min}$, при котором лампочку нельзя увидеть сквозь боковые стенки сосуда.

Решение:

Чтобы лампочку нельзя было увидеть сквозь боковые стенки, лучи света от нее, попадающие на границу раздела жидкость-воздух на боковой стенке, должны испытывать полное внутреннее отражение. Это означает, что угол падения лучей на эту границу должен быть не меньше предельного (критического) угла.

Сначала рассмотрим, как лучи света от лампочки попадают в жидкость. Лампочка находится в воздухе под дном сосуда. Дно является плоскопараллельной стеклянной пластиной, которая не изменяет направление прошедшего через нее луча. Поэтому можно рассматривать преломление света непосредственно на границе воздух-жидкость. Пусть угол падения луча из воздуха на горизонтальную поверхность жидкости равен $\theta_1$ (угол с нормалью-вертикалью), а угол преломления в жидкости – $\theta_2$. По закону Снеллиуса:

$n_{воздуха} \cdot \sin \theta_1 = n \cdot \sin \theta_2$

Поскольку $n_{воздуха} = 1$, получаем:

$\sin \theta_1 = n \cdot \sin \theta_2$

Лампочка испускает свет во всех направлениях, поэтому лучи могут падать на дно под любым углом от $0^\circ$ до $90^\circ$. Максимальный угол преломления в жидкости $\theta_{2,max}$ будет соответствовать максимальному углу падения $\theta_{1,max} = 90^\circ$ (скользящий луч).

$\sin(90^\circ) = n \cdot \sin \theta_{2,max}$

$1 = n \cdot \sin \theta_{2,max}$

Отсюда находим синус максимального угла распространения лучей в жидкости относительно вертикали:

$\sin \theta_{2,max} = \frac{1}{n}$

Теперь рассмотрим падение луча, распространяющегося в жидкости, на боковую вертикальную стенку. Угол падения $\alpha$ на боковую стенку – это угол между лучом и нормалью к этой стенке (которая горизонтальна). Из геометрии прямоугольного треугольника, образованного лучом, вертикалью и горизонталью, следует, что угол падения на боковую стенку $\alpha$ связан с углом $\theta_2$ соотношением:

$\alpha = 90^\circ - \theta_2$

Условие полного внутреннего отражения на границе жидкость-воздух (стеклянная стенка как плоскопараллельная пластина не влияет на итоговое условие выхода луча в воздух) имеет вид:

$\sin \alpha \ge \frac{n_{воздуха}}{n}$ или $\sin \alpha \ge \frac{1}{n}$

Это условие должно выполняться для всех лучей, достигающих боковой стенки. Самые "сложные" для отражения лучи — это те, у которых угол падения $\alpha$ минимален. Минимальный угол падения $\alpha_{min}$ соответствует максимальному углу отклонения от вертикали $\theta_{2,max}$.

$\alpha_{min} = 90^\circ - \theta_{2,max}$

Следовательно, для невидимости лампочки условие полного внутреннего отражения должно выполняться даже для этих лучей:

$\sin \alpha_{min} \ge \frac{1}{n}$

$\sin(90^\circ - \theta_{2,max}) \ge \frac{1}{n}$

Используя формулу приведения, получаем:

$\cos \theta_{2,max} \ge \frac{1}{n}$

Мы знаем, что $\sin \theta_{2,max} = \frac{1}{n}$. Из основного тригонометрического тождества $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ выразим косинус:

$\cos \theta_{2,max} = \sqrt{1 - \sin^2 \theta_{2,max}} = \sqrt{1 - \left(\frac{1}{n}\right)^2}$

Подставим это выражение в наше неравенство:

$\sqrt{1 - \frac{1}{n^2}} \ge \frac{1}{n}$

Так как $n>1$, обе части неравенства положительны, и мы можем возвести их в квадрат:

$1 - \frac{1}{n^2} \ge \frac{1}{n^2}$

$1 \ge \frac{2}{n^2}$

$n^2 \ge 2$

$n \ge \sqrt{2}$

Минимальное значение показателя преломления, при котором выполняется это условие, равно $\sqrt{2}$.

Ответ: Минимальное значение показателя преломления жидкости $n = \sqrt{2}$.