Номер 7.121, страница 161 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Колебания и волны. Глава 7. Геометрическая оптика. Преломление света. Полное внутреннее отражение - номер 7.121, страница 161.

Условие.

7.121. Какова глубина озера, если водолаз ростом 1,8 м, стоящий на горизонтальном дне, видит отражёнными от поверхности воды те части дна, которые расположены от него на расстоянии 48 м и дальше?

Решение.

Дано:

Рост водолаза $h = 1,8$ м

Минимальное расстояние до видимой части дна $L = 48$ м

Показатель преломления воды $n_{в} = 4/3$

Показатель преломления воздуха $n_{а} = 1$

Найти:

Глубину озера $\text{H}$.

Решение:

Водолаз видит отраженными от поверхности воды те части дна, которые находятся на расстоянии 48 м и дальше. Это явление объясняется полным внутренним отражением света на границе раздела двух сред: вода-воздух. Граничное расстояние $L = 48$ м соответствует ситуации, когда свет от точки на дне падает на поверхность воды под критическим углом $\alpha_c$. Свет от более удаленных точек дна будет падать на поверхность под углами, большими критического, и также будет полностью отражаться, достигая глаз водолаза. Свет от более близких точек падает под углами меньше критического, в основном преломляется и уходит в воздух, поэтому отражение от этих точек значительно слабее и, в рамках задачи, считается невидимым.

Рассмотрим ход луча света от точки $\text{P}$ на дне, находящейся на горизонтальном расстоянии $\text{L}$ от водолаза, до его глаз $\text{E}$. Луч падает на поверхность воды в точке $\text{R}$ и отражается к глазу. Пусть глубина озера равна $\text{H}$, а рост водолаза $\text{h}$. Глаза водолаза находятся на высоте $\text{h}$ от дна, то есть на глубине $H-h$ от поверхности. Согласно закону отражения, угол падения луча равен углу отражения.

Из геометрии задачи (рассмотрев два подобных прямоугольных треугольника, образованных ходом луча, нормалью к поверхности и перпендикулярами от глаза и точки на дне к поверхности) можно выразить тангенс угла падения $\alpha$ через параметры задачи. Пусть $\text{x}$ — горизонтальное расстояние от водолаза до точки отражения $\text{R}$.

$\tan \alpha = \frac{x}{H-h}$ и $\tan \alpha = \frac{L-x}{H}$

Из этих двух соотношений можно выразить $\tan \alpha$ через $L, H, h$:

$(H-h)\tan \alpha = x$

$H\tan \alpha = L-x$

Сложив два уравнения, получим:

$(H-h)\tan \alpha + H\tan \alpha = L$

$(2H-h)\tan \alpha = L$

$\tan \alpha = \frac{L}{2H-h}$

Для граничного случая, когда $L = 48$ м, угол падения $\alpha$ равен критическому углу полного внутреннего отражения $\alpha_c$. Критический угол находится из закона Снеллиуса:

$n_{в} \sin \alpha_c = n_{а} \sin 90^\circ$

Подставляя значения показателей преломления:

$\frac{4}{3} \sin \alpha_c = 1 \cdot 1 \implies \sin \alpha_c = \frac{3}{4}$

Теперь найдем тангенс критического угла, используя тригонометрическое тождество $\tan^2 \alpha + 1 = \frac{1}{\cos^2 \alpha}$ и $\cos^2 \alpha = 1 - \sin^2 \alpha$:

$\cos^2 \alpha_c = 1 - (\frac{3}{4})^2 = 1 - \frac{9}{16} = \frac{7}{16} \implies \cos \alpha_c = \frac{\sqrt{7}}{4}$

$\tan \alpha_c = \frac{\sin \alpha_c}{\cos \alpha_c} = \frac{3/4}{\sqrt{7}/4} = \frac{3}{\sqrt{7}}$

Приравниваем два полученных выражения для тангенса угла при $L=48$ м:

$\frac{L}{2H-h} = \frac{3}{\sqrt{7}}$

Подставим известные значения и решим уравнение относительно $\text{H}$:

$\frac{48}{2H - 1.8} = \frac{3}{\sqrt{7}}$

Разделим обе части на 3:

$\frac{16}{2H - 1.8} = \frac{1}{\sqrt{7}}$

$16\sqrt{7} = 2H - 1.8$

$2H = 16\sqrt{7} + 1.8$

$H = 8\sqrt{7} + 0.9$

Вычислим приближенное значение, используя $\sqrt{7} \approx 2.646$:

$H \approx 8 \cdot 2.646 + 0.9 = 21.168 + 0.9 = 22.068 \text{ м}$

Округляя результат до двух значащих цифр (как в исходных данных), получаем:

$H \approx 22 \text{ м}$

Ответ: глубина озера составляет приблизительно 22 м.