Номер 7.125, страница 162 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Колебания и волны. Глава 7. Геометрическая оптика. Преломление света. Полное внутреннее отражение - номер 7.125, страница 162.

Условие.

7.125. На глубине 1 м в воде помещён точечный источник света. Найдите площадь поверхности воды на границе с воздухом, через которую свет выходит наружу.

Решение.

Дано:

$h = 1$ м
$n_в \approx 1.33$ (показатель преломления воды)
$n_{воз} \approx 1$ (показатель преломления воздуха)

Найти:

$\text{S}$ — площадь поверхности воды, через которую свет выходит наружу.

Решение:

Свет от точечного источника, расположенного в воде, распространяется во все стороны. При переходе из оптически более плотной среды (воды) в оптически менее плотную среду (воздух) световые лучи преломляются. Свет сможет выйти из воды в воздух только в том случае, если угол падения луча на границу раздела сред меньше или равен предельному (критическому) углу полного внутреннего отражения $α_{кр}$. Если угол падения больше критического, свет полностью отражается обратно в воду.

Таким образом, на поверхности воды образуется светлый круг, за пределами которого свет не выходит наружу. Нам нужно найти площадь этого круга. Радиус этого круга $\text{R}$ определяется лучом, который падает на границу раздела под критическим углом $α_{кр}$. При падении под критическим углом угол преломления $β$ равен $90°$.

Согласно закону Снеллиуса:

$n_в \sin(α_{кр}) = n_{воз} \sin(β)$

Поскольку $β=90°$, то $\sin(β) = 1$. Следовательно,

$n_в \sin(α_{кр}) = n_{воз}$

Отсюда можно найти синус критического угла:

$\sin(α_{кр}) = \frac{n_{воз}}{n_в}$

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный источником света, центром светлого круга на поверхности и точкой на его краю. Глубина источника $\text{h}$ является катетом, прилежащим к углу $α_{кр}$ (если рассматривать угол при источнике), а радиус круга $\text{R}$ — катетом, противолежащим этому углу.

Из геометрии этого треугольника имеем соотношение:

$\tan(α_{кр}) = \frac{R}{h}$

Отсюда $R = h \cdot \tan(α_{кр})$.

Зная $\sin(α_{кр})$, найдем $\tan(α_{кр})$ через тригонометрические тождества:

$\tan(α_{кр}) = \frac{\sin(α_{кр})}{\cos(α_{кр})} = \frac{\sin(α_{кр})}{\sqrt{1 - \sin^2(α_{кр})}}$

Подставим выражение для $\sin(α_{кр})$:

$\tan(α_{кр}) = \frac{\frac{n_{воз}}{n_в}}{\sqrt{1 - (\frac{n_{воз}}{n_в})^2}} = \frac{\frac{n_{воз}}{n_в}}{\sqrt{\frac{n_в^2 - n_{воз}^2}{n_в^2}}} = \frac{n_{воз}}{\sqrt{n_в^2 - n_{воз}^2}}$

Теперь найдем радиус:

$R = h \cdot \frac{n_{воз}}{\sqrt{n_в^2 - n_{воз}^2}}$

Площадь круга вычисляется по формуле $S = \pi R^2$. Подставим выражение для радиуса:

$S = \pi \left( h \frac{n_{воз}}{\sqrt{n_в^2 - n_{воз}^2}} \right)^2 = \frac{\pi h^2 n_{воз}^2}{n_в^2 - n_{воз}^2}$

Подставим числовые значения:

$S = \frac{\pi \cdot (1 \text{ м})^2 \cdot 1^2}{1.33^2 - 1^2} = \frac{\pi}{1.7689 - 1} = \frac{\pi}{0.7689} \approx \frac{3.1416}{0.7689} \approx 4.086 \text{ м}^2$

Ответ: $S \approx 4.1 \text{ м}^2$.