Номер 7.122, страница 161 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Колебания и волны. Глава 7. Геометрическая оптика. Преломление света. Полное внутреннее отражение - номер 7.122, страница 161.

Условие.

7.122*. При переходе луча света из первой среды во вторую угол преломления $45^\circ$, а при переходе из первой среды в третью угол преломления $30^\circ$ (при том же значении угла падения). Найдите предельный угол полного внутреннего отражения в ситуации, когда свет идёт из третьей среды во вторую.

Решение.

Дано:

Угол преломления при переходе луча света из первой среды во вторую: $\beta_2 = 45^\circ$.
Угол преломления при переходе луча света из первой среды в третью: $\beta_3 = 30^\circ$.
Угол падения $\alpha$ в обоих случаях одинаков.

Найти:

Предельный угол полного внутреннего отражения $\alpha_{пред}$ при переходе света из третьей среды во вторую.

Решение:

Обозначим показатели преломления первой, второй и третьей сред как $n_1$, $n_2$ и $n_3$ соответственно. Запишем закон преломления света (закон Снеллиуса) для двух случаев, описанных в условии задачи.

1. Переход из первой среды во вторую: $n_1 \sin(\alpha) = n_2 \sin(\beta_2)$

2. Переход из первой среды в третью: $n_1 \sin(\alpha) = n_3 \sin(\beta_3)$

Поскольку левые части обоих уравнений равны, мы можем приравнять их правые части: $n_2 \sin(\beta_2) = n_3 \sin(\beta_3)$

Из этого соотношения мы можем найти отношение показателей преломления второй и третьей сред: $\frac{n_2}{n_3} = \frac{\sin(\beta_3)}{\sin(\beta_2)}$

Теперь рассмотрим условие полного внутреннего отражения при переходе света из третьей среды во вторую. Полное внутреннее отражение происходит, когда свет переходит из оптически более плотной среды в оптически менее плотную ($n_3 > n_2$) и угол падения превышает некоторый предельный угол $\alpha_{пред}$. В момент, когда угол падения равен предельному, угол преломления составляет $90^\circ$.

Запишем закон Снеллиуса для этого случая: $n_3 \sin(\alpha_{пред}) = n_2 \sin(90^\circ)$

Так как $\sin(90^\circ) = 1$, получаем: $\sin(\alpha_{пред}) = \frac{n_2}{n_3}$

Подставим в это уравнение ранее найденное отношение $\frac{n_2}{n_3}$: $\sin(\alpha_{пред}) = \frac{\sin(\beta_3)}{\sin(\beta_2)}$

Теперь подставим числовые значения углов $\beta_2 = 45^\circ$ и $\beta_3 = 30^\circ$: $\sin(\alpha_{пред}) = \frac{\sin(30^\circ)}{\sin(45^\circ)}$

Мы знаем, что $\sin(30^\circ) = \frac{1}{2}$ и $\sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$. $\sin(\alpha_{пред}) = \frac{1/2}{\sqrt{2}/2} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Отсюда находим предельный угол $\alpha_{пред}$: $\alpha_{пред} = \arcsin\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = 45^\circ$

Ответ: предельный угол полного внутреннего отражения равен $45^\circ$.