Номер 7.127, страница 162 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Колебания и волны. Глава 7. Геометрическая оптика. Преломление света. Полное внутреннее отражение - номер 7.127, страница 162.

Условие.

7.127. Какой максимально допустимый угол падения $\alpha$ светового лу-ча на торец прямого волокна световода, имеющего показатель прелом-ления $\text{n}$?

Решение.

Дано:

Показатель преломления волокна световода: $\text{n}$

Показатель преломления окружающей среды (предполагается воздух): $n_0 = 1$

Найти:

Максимально допустимый угол падения $\alpha_{max}$

Решение:

Для того чтобы световой луч мог распространяться по волокну световода, он должен испытывать полное внутреннее отражение от его боковой поверхности. Рассмотрим ход луча на границе торец-волокно и на границе волокно-окружающая среда.

1. Преломление на торце световода.

Световой луч падает на торец световода из воздуха (с показателем преломления $n_0 = 1$) под углом $\alpha$ к нормали (оси световода). После преломления луч распространяется внутри световода под углом $\beta$ к оси. По закону преломления света (закону Снеллиуса):

$n_0 \sin\alpha = n \sin\beta$

Так как $n_0 = 1$, получаем:

$\sin\alpha = n \sin\beta$ (1)

2. Условие полного внутреннего отражения.

Далее луч достигает боковой поверхности световода. Угол падения луча на эту поверхность равен $\gamma$. Из геометрии (рассматривая прямоугольный треугольник, образованный лучом внутри волокна, осью волокна и нормалью к боковой поверхности) следует, что углы $\beta$ и $\gamma$ связаны соотношением:

$\gamma = 90^\circ - \beta$

Для распространения света по волокну необходимо, чтобы на границе "волокно-воздух" происходило полное внутреннее отражение. Это явление наблюдается, когда угол падения $\gamma$ превышает или равен критическому углу $\theta_c$. Критический угол определяется формулой:

$\sin\theta_c = \frac{n_0}{n} = \frac{1}{n}$

Следовательно, условие полного внутреннего отражения имеет вид:

$\gamma \ge \theta_c$

или, так как синус является возрастающей функцией для острых углов:

$\sin\gamma \ge \sin\theta_c \implies \sin\gamma \ge \frac{1}{n}$

Используя соотношение между $\gamma$ и $\beta$, получим:

$\sin(90^\circ - \beta) \ge \frac{1}{n}$

Применяя формулу приведения $\sin(90^\circ - \beta) = \cos\beta$, получаем условие для угла $\beta$:

$\cos\beta \ge \frac{1}{n}$ (2)

3. Нахождение максимального угла падения $\alpha_{max}$.

Из уравнения (1) видно, что угол падения $\alpha$ увеличивается с увеличением угла преломления $\beta$. Нам нужно найти максимальный угол $\alpha_{max}$, при котором свет еще будет распространяться по световоду. Это соответствует максимальному возможному углу $\beta_{max}$.

Из условия (2) следует, что максимальное значение $\beta$ соответствует минимальному значению $\cos\beta$ (так как функция косинуса убывает на интервале от $0^\circ$ до $90^\circ$). Предельный случай, соответствующий максимальному углу $\beta_{max}$, наступает, когда $\gamma = \theta_c$, то есть:

$\cos\beta_{max} = \frac{1}{n}$

Теперь найдем $\sin\beta_{max}$ с помощью основного тригонометрического тождества $\sin^2\beta + \cos^2\beta = 1$:

$\sin\beta_{max} = \sqrt{1 - \cos^2\beta_{max}} = \sqrt{1 - \left(\frac{1}{n}\right)^2} = \sqrt{\frac{n^2 - 1}{n^2}} = \frac{\sqrt{n^2 - 1}}{n}$

Наконец, подставим найденное значение $\sin\beta_{max}$ в уравнение (1) для нахождения $\sin\alpha_{max}$:

$\sin\alpha_{max} = n \sin\beta_{max} = n \cdot \frac{\sqrt{n^2 - 1}}{n} = \sqrt{n^2 - 1}$

Отсюда максимально допустимый угол падения $\alpha_{max}$ равен:

$\alpha_{max} = \arcsin\left(\sqrt{n^2 - 1}\right)$

Это выражение имеет физический смысл только при $n^2 - 1 \le 1$, то есть $n \le \sqrt{2}$. Если $n > \sqrt{2}$, то максимальный угол падения $\alpha_{max}$ равен $90^\circ$, так как $\sqrt{n^2-1} > 1$, и любой луч, вошедший в торец, будет испытывать полное внутреннее отражение.

Ответ: Максимально допустимый угол падения $\alpha$ светового луча на торец прямого волокна световода равен $\alpha_{max} = \arcsin\left(\sqrt{n^2 - 1}\right)$ при $1 < n \le \sqrt{2}$, и $\alpha_{max} = 90^\circ$ при $n > \sqrt{2}$.