Номер 7.134, страница 163 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Колебания и волны. Глава 7. Геометрическая оптика. Преломление света в плоскопараллельной пластине и призме - номер 7.134, страница 163.

Условие.

7.134. При определении показателя преломления стекла изобразили ход светового луча через плоскопараллельную стеклянную пластину, находящуюся в воздухе (рис. 7.26). Точка O — центр окружности, $AB = 73 \pm 1$ мм, $CD = 47 \pm 1$ мм. Вычислите показатель преломления $\text{n}$ и оцените погрешность.

Рис. 7.26

Решение.

Дано:

$AB = 73 \pm 1$ мм

$CD = 47 \pm 1$ мм

$AB = (73 \pm 1) \cdot 10^{-3}$ м

$CD = (47 \pm 1) \cdot 10^{-3}$ м

Найти:

$\text{n}$ — ?

Решение:

При переходе светового луча из одной среды в другую на границе раздела двух сред выполняется закон преломления света (закон Снеллиуса):

$n_1 \sin \alpha = n_2 \sin \gamma$

где $n_1$ — показатель преломления первой среды (в данном случае воздуха, $n_1 \approx 1$), $n_2=n$ — искомый показатель преломления второй среды (стекла), $\alpha$ — угол падения, $\gamma$ — угол преломления.

Из геометрии рисунка видно, что луч падает в центр окружности O. Обозначим радиус окружности как $\text{R}$. Тогда отрезки $\text{OA}$ и $\text{OD}$ являются радиусами, то есть $OA = OD = R$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный отрезками $\text{AB}$, $\text{OB}$ и гипотенузой $\text{OA}$. Угол падения $\alpha$ (угол между падающим лучом и перпендикуляром к поверхности) равен углу при вершине O в этом треугольнике. Тогда синус угла падения можно выразить как отношение противолежащего катета $\text{AB}$ к гипотенузе $OA=R$:

$\sin \alpha = \frac{AB}{OA} = \frac{AB}{R}$

Аналогично, для преломленного луча рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный отрезками $\text{CD}$, $\text{OC}$ и гипотенузой $\text{OD}$. Угол преломления $\gamma$ (угол между преломленным лучом и перпендикуляром) равен углу при вершине O в этом треугольнике. Синус угла преломления равен:

$\sin \gamma = \frac{CD}{OD} = \frac{CD}{R}$

Подставим полученные выражения для синусов в закон Снеллиуса:

$1 \cdot \frac{AB}{R} = n \cdot \frac{CD}{R}$

Сократив радиус $\text{R}$, получим формулу для расчета показателя преломления:

$n = \frac{AB}{CD}$

Вычислим среднее значение показателя преломления:

$n = \frac{73 \text{ мм}}{47 \text{ мм}} \approx 1.5532$

Теперь оценим погрешность измерения. При делении двух величин их относительные погрешности складываются. Относительная погрешность показателя преломления $\varepsilon_n$ равна сумме относительных погрешностей измерений $\text{AB}$ и $\text{CD}$:

$\varepsilon_n = \frac{\Delta n}{n} = \frac{\Delta AB}{AB} + \frac{\Delta CD}{CD}$

$\varepsilon_n = \frac{1}{73} + \frac{1}{47} \approx 0.0137 + 0.0213 = 0.035$

Абсолютная погрешность $\Delta n$ вычисляется как:

$\Delta n = n \cdot \varepsilon_n \approx 1.5532 \cdot 0.035 \approx 0.0544$

Погрешность принято округлять до одной, максимум двух, значащих цифр. Округлим до одной: $\Delta n \approx 0.05$.

Значение измеряемой величины округляется до того же десятичного знака, что и погрешность. В нашем случае — до сотых:

$n \approx 1.55$

Таким образом, итоговый результат с учетом погрешности:

$n = 1.55 \pm 0.05$

Ответ: Показатель преломления стекла $n = 1.55 \pm 0.05$.