Номер 7.135, страница 163 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Колебания и волны. Глава 7. Геометрическая оптика. Преломление света в плоскопараллельной пластине и призме - номер 7.135, страница 163.

Условие.

7.135. Луч падает из воздуха под углом 60° на стеклянную пластину толщиной 2 см с параллельными гранями (рис. 7.27). Определите смещение луча, вышедшего из пластины, т. е. расстояние $\text{d}$ между вышедшим из пластины лучом и продолжением падающего луча.

Рис. 7.27

Решение.

Дано

Угол падения луча, $ \alpha = 60^\circ $

Толщина стеклянной пластины, $ h = 2 \text{ см} $

Показатель преломления воздуха (среда 1), $ n_1 = 1 $

Показатель преломления стекла (среда 2), примем типичное значение $ n_2 = 1.5 $

Перевод в систему СИ:

$ h = 0.02 \text{ м} $

Найти:

Смещение луча, $ d $

Решение

Когда луч света падает на границу раздела двух сред (в данном случае, воздух-стекло), он преломляется. Согласно закону преломления света (закону Снеллиуса):

$ n_1 \sin \alpha = n_2 \sin \gamma $

где $ \gamma $ - угол преломления луча в стекле. Из этого закона мы можем найти синус угла преломления:

$ \sin \gamma = \frac{n_1}{n_2} \sin \alpha = \frac{1}{1.5} \sin 60^\circ = \frac{2}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{3} $

Из геометрии, показанной на рисунке 7.27, можно вывести формулу для смещения луча $ d $. Рассмотрим прямоугольный треугольник, гипотенузой которого является путь луча в стекле $ L $, а катетом - толщина пластины $ h $. Угол между гипотенузой $ L $ и катетом $ h $ равен $ \gamma $. Тогда $ L = \frac{h}{\cos \gamma} $.

Смещение $ d $ является катетом в другом прямоугольном треугольнике, гипотенузой которого является $ L $, а угол, противолежащий катету $ d $, равен $ (\alpha - \gamma) $. Следовательно:

$ d = L \sin(\alpha - \gamma) = \frac{h \sin(\alpha - \gamma)}{\cos \gamma} $

Используем тригонометрическую формулу для синуса разности углов $ \sin(\alpha - \gamma) = \sin \alpha \cos \gamma - \cos \alpha \sin \gamma $:

$ d = h \frac{\sin \alpha \cos \gamma - \cos \alpha \sin \gamma}{\cos \gamma} = h (\sin \alpha - \cos \alpha \tan \gamma) $

Нам нужно найти $ \tan \gamma $. Мы знаем $ \sin \gamma $, найдем $ \cos \gamma $:

$ \cos \gamma = \sqrt{1 - \sin^2 \gamma} = \sqrt{1 - \left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{3}{9}} = \sqrt{\frac{6}{9}} = \frac{\sqrt{6}}{3} $

Теперь найдем тангенс угла преломления:

$ \tan \gamma = \frac{\sin \gamma}{\cos \gamma} = \frac{\sqrt{3}/3}{\sqrt{6}/3} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{6}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} $

Подставим все известные значения в формулу для $ d $:

$ d = h (\sin 60^\circ - \cos 60^\circ \cdot \tan \gamma) = 2 \text{ см} \cdot \left(\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}\right) $

$ d = 2 \cdot \left(\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{4}\right) = \left(\sqrt{3} - \frac{\sqrt{2}}{2}\right) \text{ см} $

Вычислим числовое значение:

$ d \approx (1.732 - \frac{1.414}{2}) \text{ см} = (1.732 - 0.707) \text{ см} = 1.025 \text{ см} $

Переведем результат в систему СИ:

$ d = 1.025 \text{ см} = 0.01025 \text{ м} $

Ответ: смещение луча составляет примерно $ 1.025 \text{ см} $ (или $ 0.01025 \text{ м} $).