Номер 7.141, страница 164 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Колебания и волны. Глава 7. Геометрическая оптика. Преломление света в плоскопараллельной пластине и призме - номер 7.141, страница 164.

Условие.

7.141*. Плоскопараллельные пластинки из алмаза и стекла ($n_{ст} = 1,5$) сложены вплотную. При каком отношении толщин пластинок время распространения света в них одинаково, если свет падает на границу алмаз—стекло под углом $20^\circ$?

Решение.

Дано:

$n_{ст} = 1,5$

$\alpha = 20^\circ$

$t_{алм} = t_{ст}$

Для решения задачи также воспользуемся справочным значением показателя преломления алмаза: $n_{алм} = 2,42$.

Найти:

$\frac{d_{алм}}{d_{ст}}$

Решение:

Пусть свет распространяется из алмазной пластинки в стеклянную. Угол падения света на границу раздела сред составляет $\alpha = 20^\circ$. Пусть $\beta$ — угол преломления в стекле.

Согласно закону преломления света (закону Снеллиуса):

$n_{алм} \sin\alpha = n_{ст} \sin\beta$

Отсюда можем выразить синус угла преломления:

$\sin\beta = \frac{n_{алм}}{n_{ст}} \sin\alpha$

Время, за которое свет проходит через плоскопараллельную пластинку толщиной $\text{d}$, определяется формулой $t = \frac{L}{v}$, где $\text{L}$ — это путь, пройденный светом в пластинке, а $\text{v}$ — скорость света в данной среде.

Скорость света в среде с показателем преломления $\text{n}$ равна $v = \frac{c}{n}$, где $\text{c}$ — скорость света в вакууме.

Путь света в пластинке связан с её толщиной $\text{d}$ и углом распространения света $\theta$ (относительно нормали) соотношением $L = \frac{d}{\cos\theta}$.

Для алмазной пластинки угол распространения равен углу падения $\alpha$, а для стеклянной — углу преломления $\beta$. Таким образом, время прохождения света через каждую пластинку:

$t_{алм} = \frac{L_{алм}}{v_{алм}} = \frac{d_{алм}/\cos\alpha}{c/n_{алм}} = \frac{d_{алм} n_{алм}}{c \cos\alpha}$

$t_{ст} = \frac{L_{ст}}{v_{ст}} = \frac{d_{ст}/\cos\beta}{c/n_{ст}} = \frac{d_{ст} n_{ст}}{c \cos\beta}$

По условию задачи, время распространения света в пластинках одинаково, $t_{алм} = t_{ст}$:

$\frac{d_{алм} n_{алм}}{c \cos\alpha} = \frac{d_{ст} n_{ст}}{c \cos\beta}$

Сократив на $\text{c}$, получим выражение для искомого отношения толщин:

$\frac{d_{алм}}{d_{ст}} = \frac{n_{ст} \cos\alpha}{n_{алм} \cos\beta}$

Для нахождения $\cos\beta$ воспользуемся основным тригонометрическим тождеством $\cos^2\beta + \sin^2\beta = 1$, откуда $\cos\beta = \sqrt{1 - \sin^2\beta}$. Подставим в это выражение $\sin\beta$ из закона Снеллиуса:

$\cos\beta = \sqrt{1 - \left(\frac{n_{алм}}{n_{ст}}\sin\alpha\right)^2}$

Теперь подставим это выражение в формулу для отношения толщин:

$\frac{d_{алм}}{d_{ст}} = \frac{n_{ст} \cos\alpha}{n_{алм} \sqrt{1 - \left(\frac{n_{алм}}{n_{ст}}\sin\alpha\right)^2}} = \frac{n_{ст}^2 \cos\alpha}{n_{алм} \sqrt{n_{ст}^2 - n_{алм}^2 \sin^2\alpha}}$

Подставим числовые значения:

$n_{ст} = 1,5$

$n_{алм} = 2,42$

$\alpha = 20^\circ$

$\sin 20^\circ \approx 0,3420$

$\cos 20^\circ \approx 0,9397$

$\frac{d_{алм}}{d_{ст}} = \frac{1,5^2 \cdot \cos 20^\circ}{2,42 \sqrt{1,5^2 - (2,42 \cdot \sin 20^\circ)^2}} = \frac{2,25 \cdot 0,9397}{2,42 \sqrt{2,25 - (2,42 \cdot 0,3420)^2}}$

$\frac{d_{алм}}{d_{ст}} = \frac{2,1143}{2,42 \sqrt{2,25 - (0,8276)^2}} = \frac{2,1143}{2,42 \sqrt{2,25 - 0,6850}} = \frac{2,1143}{2,42 \sqrt{1,565}}$

$\frac{d_{алм}}{d_{ст}} = \frac{2,1143}{2,42 \cdot 1,251} \approx \frac{2,1143}{3,0274} \approx 0,698$

Ответ: Отношение толщины алмазной пластинки к толщине стеклянной пластинки $\frac{d_{алм}}{d_{ст}}$ должно быть равно примерно 0,698.