Номер 7.144, страница 164 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Колебания и волны. Глава 7. Геометрическая оптика. Преломление света в плоскопараллельной пластине и призме - номер 7.144, страница 164.

Условие.

7.144. Луч падает на боковую поверхность равнобедренной треугольной призмы и после преломления идёт в призме параллельно основанию (рис. 7.28). Выйдя из призмы, он оказывается отклонённым на угол $\delta$ от своего первоначального направления. Найдите в этом случае связь между преломляющим углом призмы $\varphi$, углом $\delta$ и показателем преломления призмы $\text{n}$.

Рис. 7.28

Решение.

Дано:

Преломляющий угол равнобедренной призмы: $\phi$

Угол отклонения луча: $\delta$

Показатель преломления призмы: $\text{n}$

Условие: луч в призме распространяется параллельно основанию.

Найти:

Связь между $\phi$, $\delta$ и $\text{n}$.

Решение:

Рассмотрим ход луча света через равнобедренную призму, как показано на рисунке. Пусть $\alpha$ - угол падения луча на первую грань, а $\beta_1$ - угол преломления. Луч выходит из второй грани под углом $\gamma$, а угол падения на вторую грань изнутри призмы равен $\beta_2$.

Поскольку призма равнобедренная и луч внутри нее распространяется параллельно основанию, ход луча симметричен. Это означает, что угол падения на первую грань равен углу выхода из второй грани ($\alpha = \gamma$), а угол преломления на первой грани равен углу падения на вторую грань ($\beta_1 = \beta_2$). Такая траектория луча соответствует условию наименьшего отклонения.

Для любой призмы преломляющий угол $\phi$ связан с углами $\beta_1$ и $\beta_2$ соотношением:

$\phi = \beta_1 + \beta_2$

Так как $\beta_1 = \beta_2$, мы можем написать:

$\phi = 2\beta_1$, откуда $\beta_1 = \frac{\phi}{2}$.

Общий угол отклонения $\delta$ - это угол между первоначальным направлением падающего луча и направлением вышедшего луча. Он вычисляется по формуле:

$\delta = (\alpha - \beta_1) + (\gamma - \beta_2)$

Учитывая симметрию ($\alpha = \gamma$ и $\beta_1 + \beta_2 = \phi$), получаем:

$\delta = \alpha + \alpha - (\beta_1 + \beta_2) = 2\alpha - \phi$

Из этого выражения найдем угол падения $\alpha$:

$2\alpha = \delta + \phi$, откуда $\alpha = \frac{\delta + \phi}{2}$.

Теперь применим закон преломления света (закон Снеллиуса) к первой грани. Будем считать, что призма находится в воздухе, показатель преломления которого равен 1.

$1 \cdot \sin \alpha = n \cdot \sin \beta_1$

Подставим в это уравнение полученные выражения для углов $\alpha$ и $\beta_1$:

$\sin\left(\frac{\delta + \phi}{2}\right) = n \sin\left(\frac{\phi}{2}\right)$

Это и есть искомая связь между преломляющим углом призмы $\phi$, углом отклонения $\delta$ и показателем преломления $\text{n}$.

Ответ: $ \sin\left(\frac{\delta + \phi}{2}\right) = n \sin\left(\frac{\phi}{2}\right) $.