Номер 7.151, страница 165 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Колебания и волны. Глава 7. Геометрическая оптика. Преломление света в плоскопараллельной пластине и призме - номер 7.151, страница 165.

Условие.

7.151. Сечение призмы представляет собой равносторонний треугольник. Луч проходит сквозь призму, преломляясь в точках, равноотстоящих от вершины. Найдите наибольшее допустимое значение показателя преломления $\text{n}$ вещества призмы.

Решение.

Дано

Преломляющий угол призмы $A = 60°$ (т.к. сечение - равносторонний треугольник).

Показатель преломления окружающей среды (воздуха) $n_1 = 1$.

Луч проходит через призму симметрично (точки преломления равноудалены от вершины).

Найти:

Наибольшее допустимое значение показателя преломления вещества призмы $n_{max}$.

Решение

Условие о том, что луч преломляется в точках, равноотстоящих от вершины призмы, означает, что ход луча в призме симметричен. При симметричном ходе луча угол падения на первую грань $\alpha_1$ равен углу преломления на второй грани $\alpha_2$, а угол преломления на первой грани $\beta_1$ равен углу падения на вторую грань $\beta_2$.

Для любой призмы преломляющий угол $\text{A}$ связан с углами $\beta_1$ и $\beta_2$ соотношением:

$A = \beta_1 + \beta_2$

В силу симметрии $\beta_1 = \beta_2$, поэтому:

$A = 2\beta_1$

Так как сечение призмы — равносторонний треугольник, ее преломляющий угол $A = 60°$.

Тогда угол преломления на первой грани (и угол падения на вторую) равен:

$\beta_1 = \beta_2 = \frac{A}{2} = \frac{60°}{2} = 30°$

Запишем закон преломления света (закон Снеллиуса) для первой грани (на границе воздух-призма):

$n_1 \sin \alpha_1 = n \sin \beta_1$

Подставляя известные значения $n_1 = 1$ и $\beta_1 = 30°$, получаем:

$1 \cdot \sin \alpha_1 = n \cdot \sin 30°$

$\sin \alpha_1 = n \cdot \frac{1}{2} = \frac{n}{2}$

Для того чтобы луч мог войти в призму, угол падения $\alpha_1$ должен быть реальным углом, то есть $\alpha_1 \le 90°$. Это накладывает ограничение на синус угла падения: $\sin \alpha_1 \le 1$.

Следовательно, должно выполняться условие:

$\frac{n}{2} \le 1 \implies n \le 2$

Теперь рассмотрим выход луча из второй грани призмы. Чтобы луч вышел из призмы, а не испытал полное внутреннее отражение, угол падения на вторую грань $\beta_2$ должен быть меньше или равен критическому углу $\beta_c$.

$\beta_2 \le \beta_c$

Критический угол полного внутреннего отражения определяется из условия:

$\sin \beta_c = \frac{n_1}{n} = \frac{1}{n}$

Таким образом, условие выхода луча можно записать в виде:

$\sin \beta_2 \le \sin \beta_c \implies \sin \beta_2 \le \frac{1}{n}$

Подставляем значение $\beta_2 = 30°$:

$\sin 30° \le \frac{1}{n}$

$\frac{1}{2} \le \frac{1}{n} \implies n \le 2$

Оба условия (возможность входа луча в призму и выхода из нее при симметричном ходе) приводят к одному и тому же ограничению на показатель преломления: $n \le 2$.

Следовательно, наибольшее допустимое значение показателя преломления вещества призмы равно 2. При $n=2$ луч должен падать на первую грань под углом $\alpha_1 = 90°$ (скользящее падение) и выходить из второй грани также под углом $90°$.

Ответ: $n_{max} = 2$.