Номер 7.149, страница 165 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Колебания и волны. Глава 7. Геометрическая оптика. Преломление света в плоскопараллельной пластине и призме - номер 7.149, страница 165.

Условие.

7.149*. В сосуде с водой находится полая (наполненная воздухом) призма (рис. 7.30).

а) Начертите дальнейший ход луча SA.

б) Рассчитайте угол отклонения луча $\delta$.

Рис. 7.30

Решение.

а)

Начертим дальнейший ход луча SA.
1. Луч света SA идет из воды (оптически более плотная среда) и падает на первую грань полой призмы, внутри которой воздух (оптически менее плотная среда). При переходе через границу раздела двух сред луч преломляется, отклоняясь от нормали к этой грани.
2. Внутри призмы луч распространяется прямолинейно до второй грани.
3. На второй грани луч переходит из воздуха обратно в воду. Так как он переходит из менее плотной среды в более плотную, он преломляется, отклоняясь к нормали.
Поскольку полая призма в воде является рассеивающей системой, итоговый вышедший луч отклоняется вверх, в сторону, противоположную основанию призмы.

Ответ: Ход луча показан на схеме. Луч отклоняется от своего первоначального направления вверх, в сторону от основания призмы.

б)

Дано:
Призма полая (внутри воздух), находится в воде.
Преломляющий угол призмы $ \phi = 60^\circ $
Показатель преломления воды $ n_1 = n_в \approx 1,33 = \frac{4}{3} $
Показатель преломления воздуха $ n_2 = n_{воз} \approx 1 $
Падающий луч SA параллелен основанию призмы.

Найти:
Угол отклонения луча $ \delta $.

Решение:

1. Найдем угол падения $ \alpha_1 $ на первую грань призмы. Так как призма в сечении представляет собой равносторонний треугольник (все углы по $60^\circ$), а луч SA параллелен основанию, то угол между лучом и боковой гранью равен $60^\circ$. Угол падения — это угол между лучом и нормалью к поверхности. Нормаль перпендикулярна грани, следовательно, угол падения $ \alpha_1 = 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ $.

2. Применим закон преломления света (закон Снеллиуса) для первой грани (переход вода-воздух):
$ n_1 \sin \alpha_1 = n_2 \sin \beta_1 $
где $ \beta_1 $ — угол преломления.
$ \frac{4}{3} \sin 30^\circ = 1 \cdot \sin \beta_1 $
$ \sin \beta_1 = \frac{4}{3} \cdot \frac{1}{2} = \frac{2}{3} $
Угол преломления $ \beta_1 = \arcsin\left(\frac{2}{3}\right) \approx 41,8^\circ $.

3. Найдем угол падения $ \alpha_2 $ на вторую грань. Для призмы справедливо соотношение:
$ \phi = \beta_1 + \alpha_2 $
Отсюда, $ \alpha_2 = \phi - \beta_1 = 60^\circ - \beta_1 $.

4. Применим закон преломления для второй грани (переход воздух-вода):
$ n_2 \sin \alpha_2 = n_1 \sin \beta_2 $
где $ \beta_2 $ — угол преломления на второй грани (угол выхода).
$ 1 \cdot \sin(60^\circ - \beta_1) = \frac{4}{3} \sin \beta_2 $
$ \sin \beta_2 = \frac{3}{4} \sin(60^\circ - \beta_1) $

5. Используем формулу синуса разности: $ \sin(A - B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B $.
Нам известны $ \sin \beta_1 = \frac{2}{3} $. Найдем $ \cos \beta_1 $:
$ \cos \beta_1 = \sqrt{1 - \sin^2 \beta_1} = \sqrt{1 - \left(\frac{2}{3}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{4}{9}} = \sqrt{\frac{5}{9}} = \frac{\sqrt{5}}{3} $
Теперь подставим значения в формулу для $ \sin(60^\circ - \beta_1) $:
$ \sin(60^\circ - \beta_1) = \sin 60^\circ \cos \beta_1 - \cos 60^\circ \sin \beta_1 = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{5}}{3} - \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} = \frac{\sqrt{15}}{6} - \frac{2}{6} = \frac{\sqrt{15} - 2}{6} $
Тогда для $ \sin \beta_2 $ получаем:
$ \sin \beta_2 = \frac{3}{4} \cdot \frac{\sqrt{15} - 2}{6} = \frac{\sqrt{15} - 2}{8} $

6. Общий угол отклонения луча для призмы вычисляется по формуле:
$ \delta = \alpha_1 + \beta_2 - \phi $
$ \delta = 30^\circ + \arcsin\left(\frac{\sqrt{15} - 2}{8}\right) - 60^\circ = \arcsin\left(\frac{\sqrt{15} - 2}{8}\right) - 30^\circ $
Вычислим приближенное значение. $ \sqrt{15} \approx 3,873 $.
$ \sin \beta_2 \approx \frac{3,873 - 2}{8} = \frac{1,873}{8} \approx 0,2341 $
$ \beta_2 = \arcsin(0,2341) \approx 13,54^\circ $
$ \delta \approx 13,54^\circ - 30^\circ = -16,46^\circ $
Знак минус указывает на то, что луч отклонился вверх (в сторону, противоположную преломляющему углу), как и было показано на рисунке. Величина угла отклонения составляет примерно $16,5^\circ$.

Ответ: $ \delta \approx 16,5^\circ $.