Номер 7.150, страница 165 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Колебания и волны. Глава 7. Геометрическая оптика. Преломление света в плоскопараллельной пластине и призме - номер 7.150, страница 165.

Условие.

7.150. При каком наименьшем значении преломляющего угла $\text{A}$ стеклянной призмы BAC луч SM будет претерпевать полное отражение (рис. 7.31)?

Рис. 7.31

Решение.

Дано:

Стеклянная призма ABC, где $\angle B = 90^\circ$.

Показатель преломления стекла призмы: $\text{n}$.

Показатель преломления окружающей среды (воздуха): $n_0 \approx 1$.

Луч света SN входит в призму перпендикулярно грани AB.

Найти:

Наименьшее значение преломляющего угла A ($A_{min}$), при котором на грани AC произойдет полное внутреннее отражение.

Решение:

Сначала рассмотрим ход луча света. Поскольку луч SN падает на грань AB перпендикулярно, угол падения равен $0^\circ$. Согласно закону преломления света, угол преломления также будет равен $0^\circ$. Это означает, что луч не изменяет своего направления при входе в призму и распространяется внутри нее по прямой NM.

В треугольнике ABC угол $\angle B = 90^\circ$. Так как луч SN перпендикулярен грани AB, а сторона BC также перпендикулярна AB, то направление луча NM внутри призмы параллельно стороне BC ($NM \parallel BC$).

Теперь найдем угол падения луча $\alpha$ на грань AC в точке M. Угол падения — это угол между падающим лучом NM и нормалью к грани AC, проведенной в точке M.

Из геометрии прямоугольного треугольника ABC известно, что сумма острых углов равна $90^\circ$:

$\angle A + \angle C = 90^\circ$

Поскольку $NM \parallel BC$, то угол между лучом NM и гранью AC равен углу $\angle C$ (как накрест лежащие углы при параллельных прямых NM и BC и секущей AC). Угол падения $\alpha$ и угол между лучом и гранью ($\angle C$) являются комплементарными, так как нормаль перпендикулярна грани AC. Следовательно, их сумма равна $90^\circ$:

$\alpha + \angle C = 90^\circ$

Сравнивая два полученных уравнения, мы приходим к выводу, что угол падения луча на грань AC равен преломляющему углу призмы A:

$\alpha = \angle A$

Полное внутреннее отражение происходит, когда свет переходит из оптически более плотной среды (стекло, $\text{n}$) в оптически менее плотную (воздух, $n_0=1$), и угол падения $\alpha$ не меньше предельного угла $\alpha_{пр}$. Условие полного внутреннего отражения:

$\alpha \ge \alpha_{пр}$

Предельный угол $\alpha_{пр}$ находится из закона Снеллиуса:

$n \sin(\alpha_{пр}) = n_0 \sin(90^\circ)$

Учитывая, что $n_0 = 1$, получаем:

$\sin(\alpha_{пр}) = \frac{1}{n}$

Таким образом, условие полного внутреннего отражения для луча на грани AC можно записать как:

$\sin \alpha \ge \frac{1}{n}$

Подставляя $\alpha = A$, получаем условие для преломляющего угла призмы A:

$\sin A \ge \frac{1}{n}$

Наименьшее значение угла A, при котором это условие выполняется, соответствует знаку равенства:

$\sin(A_{min}) = \frac{1}{n}$

Отсюда находим искомое наименьшее значение угла A:

$A_{min} = \arcsin\left(\frac{1}{n}\right)$

Ответ: Наименьшее значение преломляющего угла A, при котором луч будет претерпевать полное отражение, равно $A_{min} = \arcsin\left(\frac{1}{n}\right)$, где $\text{n}$ — показатель преломления материала призмы.