Номер 7.146, страница 164 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Колебания и волны. Глава 7. Геометрическая оптика. Преломление света в плоскопараллельной пластине и призме - номер 7.146, страница 164.

Условие.

7.146. Луч падает нормально на боковую поверхность призмы и выходит из неё отклонённым на $25^\circ$. Показатель преломления материала призмы 1,7. Найдите преломляющий угол призмы.

Решение.

Дано:

Угол отклонения луча $\delta = 25^\circ$

Показатель преломления материала призмы $n = 1.7$

Угол падения на первую грань $\alpha_1 = 0^\circ$ (так как луч падает нормально)

Показатель преломления воздуха $n_0 = 1$

Найти:

Преломляющий угол призмы $\text{A}$

Решение:

Когда луч света падает нормально (перпендикулярно) на поверхность, угол падения равен нулю ($\alpha_1 = 0^\circ$). Согласно закону преломления Снеллиуса, $n_0 \sin \alpha_1 = n \sin \beta_1$, где $\beta_1$ — угол преломления. Так как $\sin 0^\circ = 0$, то и $\sin \beta_1 = 0$, а значит $\beta_1 = 0^\circ$. Луч входит в призму без отклонения.

Для призмы преломляющий угол $\text{A}$ связан с углом преломления на первой грани $\beta_1$ и углом падения на вторую грань $\alpha_2$ соотношением $A = \beta_1 + \alpha_2$. Поскольку в нашем случае $\beta_1 = 0^\circ$, то преломляющий угол равен углу падения на вторую грань: $A = \alpha_2$.

На второй грани луч выходит из призмы (среда с показателем преломления $\text{n}$) в воздух (среда с показателем $n_0=1$). Запишем закон преломления для этой грани:

$n \sin \alpha_2 = n_0 \sin \beta_2$

Подставив $\alpha_2 = A$ и $n_0=1$, получаем:

$n \sin A = \sin \beta_2$

где $\beta_2$ — угол преломления на второй грани (угол выхода луча).

Общий угол отклонения луча призмой $\delta$ определяется формулой $\delta = \alpha_1 + \beta_2 - A$. Подставим известные значения $\delta = 25^\circ$ и $\alpha_1 = 0^\circ$:

$25^\circ = 0 + \beta_2 - A$

Отсюда выражаем угол выхода: $\beta_2 = A + 25^\circ$.

Теперь у нас есть система из двух уравнений. Подставим выражение для $\beta_2$ в закон преломления:

$n \sin A = \sin(A + 25^\circ)$

Используем тригонометрическую формулу синуса суммы: $\sin(x+y) = \sin x \cos y + \cos x \sin y$.

$1.7 \sin A = \sin A \cos 25^\circ + \cos A \sin 25^\circ$

Сгруппируем члены, содержащие $\sin A$:

$1.7 \sin A - \sin A \cos 25^\circ = \cos A \sin 25^\circ$

$\sin A (1.7 - \cos 25^\circ) = \cos A \sin 25^\circ$

Разделив обе части на $\cos A$, получим выражение для тангенса угла $\text{A}$:

$\tan A = \frac{\sin A}{\cos A} = \frac{\sin 25^\circ}{1.7 - \cos 25^\circ}$

Выполним вычисления, используя значения $\sin 25^\circ \approx 0.4226$ и $\cos 25^\circ \approx 0.9063$:

$\tan A \approx \frac{0.4226}{1.7 - 0.9063} = \frac{0.4226}{0.7937} \approx 0.5324$

Найдём угол $\text{A}$ как арктангенс этого значения:

$A = \arctan(0.5324) \approx 28.03^\circ$

Ответ:

Преломляющий угол призмы $A \approx 28^\circ$.