Номер 7.139, страница 163 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Колебания и волны. Глава 7. Геометрическая оптика. Преломление света в плоскопараллельной пластине и призме - номер 7.139, страница 163.

Условие.

7.139. Угол падения луча из воздуха на слой воды толщиной 40 см равен углу полного внутреннего отражения для воды. Вычислите смещение луча в результате прохождения этого слоя воды.

Решение.

Дано:

Толщина слоя воды, $d = 40 \text{ см}$

Угол падения луча, $\alpha = \alpha_{пр}$ (где $\alpha_{пр}$ - предельный угол полного внутреннего отражения для воды)

Показатель преломления воздуха, $n_1 = 1$

Показатель преломления воды, $n_2 = 4/3$

$d = 0.4 \text{ м}$

Найти:

Смещение луча, $\text{x}$

Решение:

Когда световой луч проходит через плоскопараллельную пластину (в данном случае, слой воды), он выходит из нее параллельно своему первоначальному направлению, но со смещением. Величина этого бокового смещения $\text{x}$ определяется по формуле:

$x = \frac{d \cdot \sin(\alpha - \beta)}{\cos(\beta)}$

где $\text{d}$ - толщина слоя, $\alpha$ - угол падения, а $\beta$ - угол преломления.

1. Сначала найдем угол падения $\alpha$. По условию задачи, он равен предельному углу полного внутреннего отражения для воды. Синус предельного угла вычисляется как отношение показателя преломления менее плотной среды (воздуха) к показателю преломления более плотной среды (воды):

$\sin(\alpha) = \sin(\alpha_{пр}) = \frac{n_1}{n_2} = \frac{1}{4/3} = \frac{3}{4}$

2. Далее, используя закон преломления Снеллиуса, найдем угол преломления $\beta$ на границе воздух-вода:

$n_1 \sin(\alpha) = n_2 \sin(\beta)$

$1 \cdot \frac{3}{4} = \frac{4}{3} \cdot \sin(\beta)$

Отсюда выражаем синус угла преломления:

$\sin(\beta) = \frac{3}{4} \cdot \frac{3}{4} = \frac{9}{16}$

3. Для расчета смещения нам понадобятся значения косинусов углов $\alpha$ и $\beta$. Найдем их, используя основное тригонометрическое тождество $\cos(y) = \sqrt{1 - \sin^2(y)}$:

$\cos(\alpha) = \sqrt{1 - \sin^2(\alpha)} = \sqrt{1 - (\frac{3}{4})^2} = \sqrt{1 - \frac{9}{16}} = \sqrt{\frac{7}{16}} = \frac{\sqrt{7}}{4}$

$\cos(\beta) = \sqrt{1 - \sin^2(\beta)} = \sqrt{1 - (\frac{9}{16})^2} = \sqrt{1 - \frac{81}{256}} = \sqrt{\frac{175}{256}} = \frac{\sqrt{25 \cdot 7}}{16} = \frac{5\sqrt{7}}{16}$

4. Теперь можно вычислить смещение $\text{x}$. Для этого можно упростить исходную формулу, используя формулу синуса разности:

$x = \frac{d \cdot (\sin(\alpha)\cos(\beta) - \cos(\alpha)\sin(\beta))}{\cos(\beta)} = d \cdot (\sin(\alpha) - \cos(\alpha)\frac{\sin(\beta)}{\cos(\beta)}) = d \cdot (\sin(\alpha) - \cos(\alpha)\tan(\beta))$

Подставим найденные значения синусов и косинусов:

$x = d \cdot (\frac{3}{4} - \frac{\sqrt{7}}{4} \cdot \frac{9/16}{5\sqrt{7}/16}) = d \cdot (\frac{3}{4} - \frac{\sqrt{7}}{4} \cdot \frac{9}{5\sqrt{7}})$

$x = d \cdot (\frac{3}{4} - \frac{9}{4 \cdot 5}) = d \cdot (\frac{3}{4} - \frac{9}{20}) = d \cdot (\frac{15 - 9}{20}) = d \cdot \frac{6}{20} = d \cdot \frac{3}{10}$

Подставим значение толщины слоя воды $d = 40 \text{ см}$:

$x = 40 \text{ см} \cdot \frac{3}{10} = 12 \text{ см}$

Ответ: смещение луча составляет 12 см.