Номер 7.138, страница 163 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Колебания и волны. Глава 7. Геометрическая оптика. Преломление света в плоскопараллельной пластине и призме - номер 7.138, страница 163.

Условие.

7.138. Угол падения параллельных лучей на плоскопараллельную пластину равен $60^\circ$. Найдите расстояние между точками, в которых из пластины выходят параллельные лучи, если расстояние между лучами, падающими на пластину, равно 0,7 см. Окружающая среда — воздух.

Решение.

Дано:

Угол падения лучей, $ \alpha = 60° $
Расстояние между падающими лучами, $ d = 0,7 \text{ см} $

Перевод в СИ:
$ d = 0,7 \text{ см} = 0,007 \text{ м} $

Найти:

Расстояние между точками выхода лучей, $ L_{вых} $ — ?

Решение:

Рассмотрим два параллельных луча, падающих на плоскопараллельную пластину. Пусть первый луч падает на поверхность пластины в точке А, а второй — в точке В. Расстояние между точками падения А и В, измеренное вдоль поверхности пластины, обозначим как $ L_{вх} $. Расстояние между падающими лучами $ d $ — это кратчайшее (перпендикулярное) расстояние между ними.

Связь между $ L_{вх} $ и $ d $ можно найти из геометрических соображений. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный точками A и B на поверхности и точкой C на втором луче, такой, что отрезок AC перпендикулярен обоим лучам. Длина AC равна $ d $. Угол между поверхностью пластины (прямая AB) и падающим лучом (прямая BC) составляет $ 90° - \alpha $. В прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом при C, мы имеем:

$ \sin(90° - \alpha) = \frac{AC}{AB} $

Используя тригонометрическое тождество $ \sin(90° - \alpha) = \cos(\alpha) $, получаем:

$ \cos(\alpha) = \frac{d}{L_{вх}} $

Отсюда находим расстояние между точками входа лучей на первой поверхности пластины:

$ L_{вх} = \frac{d}{\cos(\alpha)} $

После входа в пластину оба луча преломляются под одинаковым углом $ \beta $, так как они падают под одинаковым углом $ \alpha $. Следовательно, лучи внутри пластины остаются параллельными друг другу.

Пусть первый луч выходит из пластины в точке C, а второй — в точке D. Поскольку поверхности пластины параллельны, а лучи внутри пластины также параллельны, то фигура, образованная отрезками лучей внутри пластины и отрезками на поверхностях (ABDC), является параллелограммом в пространстве (точнее, основанием призмы). Это означает, что отрезок CD на выходной поверхности равен и параллелен отрезку AB на входной поверхности.

Таким образом, расстояние между точками выхода лучей $ L_{вых} $ равно расстоянию между точками их входа $ L_{вх} $:

$ L_{вых} = L_{вх} = \frac{d}{\cos(\alpha)} $

Эта формула показывает, что искомое расстояние не зависит от толщины пластины и её показателя преломления. Подставим заданные значения:

$ \alpha = 60° $
$ d = 0,7 \text{ см} $

$ L_{вых} = \frac{0,7 \text{ см}}{\cos(60°)} = \frac{0,7 \text{ см}}{0,5} = 1,4 \text{ см} $

Ответ: 1,4 см.