Номер 7.136, страница 163 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Колебания и волны. Глава 7. Геометрическая оптика. Преломление света в плоскопараллельной пластине и призме - номер 7.136, страница 163.

Условие.

7.136*. Луч падает из воздуха под углом $45^\circ$ на плоскопараллельную стеклянную пластину.

а) Начертите ход лучей: отражённого, преломлённого и выходящего из пластины.

б) Найдите смещение луча при выходе из пластины. Толщина пластины 10 см.

Решение.

а) Начертите ход лучей: отражённого, преломлённого и выходящего из пластины.

При падении луча света из воздуха на поверхность стеклянной пластины происходят явления отражения и преломления света.

1. Падающий луч падает из воздуха на первую поверхность пластины под углом падения $\alpha$.
2. На границе раздела двух сред луч частично отражается (отражённый луч). Угол отражения равен углу падения.
3. Другая часть луча преломляется и входит в пластину (преломлённый луч). Так как стекло является оптически более плотной средой, чем воздух ($n_2 > n_1$), угол преломления $\beta$ меньше угла падения $\alpha$.
4. Преломлённый луч доходит до второй границы пластины (стекло-воздух) и снова преломляется, выходя наружу (выходящий луч).
5. Поскольку пластина плоскопараллельная, её грани параллельны. Вследствие этого выходящий луч параллелен падающему лучу, но смещён относительно его первоначального направления на некоторое расстояние $\text{x}$.

Ответ: Схематический ход лучей представлен на рисунке и в описании выше.

б) Найдите смещение луча при выходе из пластины.

Дано:

Угол падения луча, $\alpha = 45°$
Толщина пластины, $d = 10$ см
Примем стандартные значения показателей преломления:
Показатель преломления воздуха, $n_1 \approx 1$
Показатель преломления стекла, $n_2 \approx 1.5$

$d = 10 \text{ см} = 0.1 \text{ м}$

Найти:

Смещение луча, $\text{x}$.

Решение:

1. Для нахождения угла преломления $\beta$ используем закон Снеллиуса для первой границы (воздух-стекло):
$n_1 \sin \alpha = n_2 \sin \beta$
Выразим синус угла преломления:
$\sin \beta = \frac{n_1}{n_2} \sin \alpha$
Подставим числовые значения:
$\sin \beta = \frac{1}{1.5} \sin 45° = \frac{2}{3} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{3}$

2. Смещение луча $\text{x}$ можно найти из геометрических соображений (см. рисунок в пункте а). Из прямоугольного треугольника, образованного преломлённым лучом, нормалью и толщиной пластины, можно выразить длину пути луча внутри пластины $\text{L}$. $L = \frac{d}{\cos \beta}$
Смещение $\text{x}$ является катетом в другом прямоугольном треугольнике с гипотенузой $\text{L}$ и углом $(\alpha - \beta)$.
$x = L \sin(\alpha - \beta)$
Подставив $\text{L}$, получим формулу для смещения:
$x = d \frac{\sin(\alpha - \beta)}{\cos \beta}$

3. Для расчета нам необходимо найти $\cos \beta$. Используем основное тригонометрическое тождество $\sin^2 \beta + \cos^2 \beta = 1$:
$\cos \beta = \sqrt{1 - \sin^2 \beta} = \sqrt{1 - \left(\frac{\sqrt{2}}{3}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{2}{9}} = \sqrt{\frac{7}{9}} = \frac{\sqrt{7}}{3}$

4. Теперь можно вычислить смещение $\text{x}$. Для удобства раскроем синус разности: $\sin(\alpha - \beta) = \sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta$.
$x = d \frac{\sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta}{\cos \beta} = d \left( \sin \alpha - \cos \alpha \frac{\sin \beta}{\cos \beta} \right)$
Подставим известные значения $\alpha = 45°$ ($\sin 45° = \cos 45° = \frac{\sqrt{2}}{2}$), $\sin \beta$ и $\cos \beta$:
$x = d \left( \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \frac{\sqrt{2}/3}{\sqrt{7}/3} \right) = d \frac{\sqrt{2}}{2} \left( 1 - \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{7}} \right)$

5. Подставим значение толщины пластины $d = 10$ см и выполним вычисления:
$x = 10 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \left( 1 - \sqrt{\frac{2}{7}} \right)$ см
$x \approx 10 \cdot \frac{1.4142}{2} \left( 1 - \sqrt{0.2857} \right) \approx 7.071 \cdot (1 - 0.5345) \approx 7.071 \cdot 0.4655 \approx 3.292$ см

Ответ: смещение луча при выходе из пластины составляет приблизительно $3.29$ см.