Номер 7.137, страница 163 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Колебания и волны. Глава 7. Геометрическая оптика. Преломление света в плоскопараллельной пластине и призме - номер 7.137, страница 163.

Условие.

7.137. Луч падает под углом $60^\circ$ на плоскопараллельную стеклянную пластину. Какова толщина пластины, если при выходе из неё луч смещается на 10 мм?

Решение.

Дано:

Угол падения луча, $\alpha = 60^\circ$.

Смещение луча, $d = 10 \text{ мм}$.

Показатель преломления воздуха, $n_1 = 1$.

Показатель преломления стекла (примем стандартное значение), $n_2 = 1.5$.

$d = 10 \text{ мм} = 0.01 \text{ м}$.

Найти:

Толщину пластины, $\text{h}$.

Решение:

Когда световой луч проходит через плоскопараллельную пластину, он преломляется на двух границах раздела сред. Вышедший из пластины луч параллелен падающему, но смещен относительно него на некоторое расстояние $\text{d}$. Это смещение можно найти, используя геометрические соображения и закон преломления света.

Связь между смещением луча $\text{d}$ и толщиной пластины $\text{h}$ выражается формулой:

$d = \frac{h \cdot \sin(\alpha - \beta)}{\cos(\beta)}$

где $\alpha$ - угол падения, а $\beta$ - угол преломления.

Выразим из этой формулы искомую толщину пластины $\text{h}$:

$h = \frac{d \cdot \cos(\beta)}{\sin(\alpha - \beta)}$

Угол преломления $\beta$ определим из закона Снеллиуса для границы воздух-стекло:

$n_1 \sin(\alpha) = n_2 \sin(\beta)$

Поскольку луч падает из воздуха ($n_1 = 1$), формула упрощается:

$\sin(\alpha) = n_2 \sin(\beta)$

Отсюда найдем синус угла преломления:

$\sin(\beta) = \frac{\sin(\alpha)}{n_2} = \frac{\sin(60^\circ)}{1.5} = \frac{\sqrt{3}/2}{1.5} = \frac{\sqrt{3}}{3} \approx 0.5774$

Теперь определим угол преломления $\beta$:

$\beta = \arcsin\left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right) \approx 35.26^\circ$

Для вычисления толщины $\text{h}$ нам необходимо найти значения $\cos(\beta)$ и $\sin(\alpha - \beta)$.

Используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2(\beta) + \cos^2(\beta) = 1$, найдем косинус угла преломления:

$\cos(\beta) = \sqrt{1 - \sin^2(\beta)} = \sqrt{1 - \left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{3}{9}} = \sqrt{\frac{6}{9}} = \frac{\sqrt{6}}{3} \approx 0.8165$

Теперь найдем разность углов: $\alpha - \beta = 60^\circ - 35.26^\circ = 24.74^\circ$.

Вычислим синус этой разности:

$\sin(\alpha - \beta) = \sin(24.74^\circ) \approx 0.4185$

Наконец, подставим все полученные значения в формулу для толщины пластины:

$h = \frac{d \cdot \cos(\beta)}{\sin(\alpha - \beta)} \approx \frac{10 \text{ мм} \cdot 0.8165}{0.4185} \approx \frac{8.165}{0.4185} \approx 19.51 \text{ мм}$

Ответ: Толщина пластины составляет приблизительно $19.51 \text{ мм}$.