Номер 7.124, страница 162 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Колебания и волны. Глава 7. Геометрическая оптика. Преломление света. Полное внутреннее отражение - номер 7.124, страница 162.

Условие.

7.124. В цистерне с сероуглеродом помещён точечный источник света. На каком наименьшем расстоянии над источником надо поместить диск диаметром 2 см, чтобы свет не вышел из сероуглерода в воздух?

Решение.

Дано:

Диаметр диска, $D = 2 \text{ см}$

Среда 1 (где находится источник): сероуглерод, показатель преломления $n_1 = 1.63$ (табличное значение).

Среда 2: воздух, показатель преломления $n_2 \approx 1.00$.

$D = 2 \text{ см} = 0.02 \text{ м}$

Найти:

Наименьшее расстояние над источником $\text{h}$.

Решение:

Для того чтобы свет не выходил из сероуглерода (оптически более плотная среда) в воздух (оптически менее плотная среда), на границе раздела сред должно происходить явление полного внутреннего отражения. Это происходит, когда угол падения луча света $\alpha$ на границу раздела сред больше или равен некоторому предельному (критическому) углу $\alpha_c$.

Минимальный размер диска (или, в данном случае, минимальное расстояние до диска заданного размера) соответствует ситуации, когда лучи, идущие от источника к самому краю диска, падают на поверхность под предельным углом $\alpha_c$. Все лучи, падающие на поверхность за пределами диска, будут иметь угол падения больше $\alpha_c$ и, следовательно, полностью отразятся обратно в сероуглерод.

Согласно закону преломления света (закону Снеллиуса):

$n_1 \sin \alpha = n_2 \sin \beta$

Для предельного угла падения $\alpha = \alpha_c$, угол преломления $\beta = 90^\circ$. Так как $\sin 90^\circ = 1$, формула принимает вид:

$n_1 \sin \alpha_c = n_2 \cdot 1$

Отсюда можно выразить синус предельного угла:

$\sin \alpha_c = \frac{n_2}{n_1}$

Рассмотрим геометрию задачи. Источник света, центр диска и его край образуют прямоугольный треугольник. Глубина $\text{h}$ (расстояние от источника до плоскости диска) является одним катетом, а радиус диска $R = D/2$ — другим катетом. Угол при вершине, где находится источник света, является углом падения $\alpha_c$.

Из этого треугольника можно записать тригонометрическое соотношение:

$\text{tg} \, \alpha_c = \frac{R}{h}$

Откуда искомое расстояние $\text{h}$ равно:

$h = \frac{R}{\text{tg} \, \alpha_c}$

Чтобы найти $\text{tg} \, \alpha_c$, воспользуемся основным тригонометрическим тождеством $\sin^2 \alpha_c + \cos^2 \alpha_c = 1$.

$\cos \alpha_c = \sqrt{1 - \sin^2 \alpha_c} = \sqrt{1 - \left(\frac{n_2}{n_1}\right)^2} = \frac{\sqrt{n_1^2 - n_2^2}}{n_1}$

Тогда тангенс предельного угла равен:

$\text{tg} \, \alpha_c = \frac{\sin \alpha_c}{\cos \alpha_c} = \frac{n_2/n_1}{\sqrt{n_1^2 - n_2^2}/n_1} = \frac{n_2}{\sqrt{n_1^2 - n_2^2}}$

Подставим это выражение в формулу для $\text{h}$:

$h = \frac{R}{\frac{n_2}{\sqrt{n_1^2 - n_2^2}}} = R \frac{\sqrt{n_1^2 - n_2^2}}{n_2}$

Теперь проведем вычисления. Радиус диска:

$R = \frac{D}{2} = \frac{2 \text{ см}}{2} = 1 \text{ см} = 0.01 \text{ м}$

Подставляем числовые значения в итоговую формулу:

$h = 0.01 \text{ м} \cdot \frac{\sqrt{1.63^2 - 1.00^2}}{1.00} = 0.01 \cdot \sqrt{2.6569 - 1} = 0.01 \cdot \sqrt{1.6569} \approx 0.01 \cdot 1.2872 \approx 0.01287 \text{ м}$

Переведем результат в сантиметры для удобства:

$h \approx 1.29 \text{ см}$

Ответ: наименьшее расстояние, на котором надо поместить диск над источником, составляет примерно 1.29 см.