Номер 7.231, страница 177 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Колебания и волны. Глава 7. Геометрическая оптика. Системы линз. Оптические приборы - номер 7.231, страница 177.

Условие.

7.231*. Высота изображения предмета на плёнке при фотосъёмке с расстояния 2 м равна 30 мм, а при съёмке с расстояния 3,9 м высота равна 15 мм. Определите фокусное расстояние объектива фотоаппарата.

Решение.

Дано:

$d_1 = 2$ м

$h_1 = 30$ мм

$d_2 = 3,9$ м

$h_2 = 15$ мм

Перевод в систему СИ:

$h_1 = 30 \cdot 10^{-3}$ м = $0,03$ м

$h_2 = 15 \cdot 10^{-3}$ м = $0,015$ м

Найти:

$\text{F}$

Решение:

Воспользуемся формулой тонкой собирающей линзы и формулой линейного увеличения. Объектив фотоаппарата можно считать тонкой собирающей линзой.

Формула тонкой линзы: $ \frac{1}{d} + \frac{1}{f} = \frac{1}{F} $, где $\text{d}$ – расстояние от предмета до линзы, $\text{f}$ – расстояние от линзы до изображения (плёнки), $\text{F}$ – фокусное расстояние линзы.

Формула линейного увеличения: $ \Gamma = \frac{h}{H} = \frac{f}{d} $, где $\text{h}$ – высота изображения, а $\text{H}$ – высота самого предмета.

Из формулы увеличения можно выразить расстояние до изображения $\text{f}$: $f = \frac{h \cdot d}{H}$.

Подставим это выражение для $\text{f}$ в формулу тонкой линзы:

$ \frac{1}{d} + \frac{1}{\frac{h \cdot d}{H}} = \frac{1}{F} $

$ \frac{1}{d} + \frac{H}{h \cdot d} = \frac{1}{F} $

Приведем левую часть к общему знаменателю:

$ \frac{h + H}{h \cdot d} = \frac{1}{F} $

Из этого соотношения можно выразить высоту предмета $\text{H}$, которая остается неизменной в обоих случаях фотосъемки.

$ F(h + H) = h \cdot d $

$ FH = h \cdot d - F \cdot h $

$ H = \frac{h(d - F)}{F} $

Теперь запишем это уравнение для двух случаев, приведенных в условии задачи:

Для первого случая: $ H = \frac{h_1(d_1 - F)}{F} $.

Для второго случая: $ H = \frac{h_2(d_2 - F)}{F} $.

Поскольку высота предмета $\text{H}$ одинакова, приравняем правые части этих двух выражений:

$ \frac{h_1(d_1 - F)}{F} = \frac{h_2(d_2 - F)}{F} $

Так как $ F \neq 0 $, мы можем умножить обе части уравнения на $\text{F}$:

$ h_1(d_1 - F) = h_2(d_2 - F) $

Раскроем скобки и решим уравнение относительно $\text{F}$:

$ h_1 d_1 - h_1 F = h_2 d_2 - h_2 F $

$ h_2 F - h_1 F = h_2 d_2 - h_1 d_1 $

$ F (h_2 - h_1) = h_2 d_2 - h_1 d_1 $

Умножим обе части на $-1$, чтобы получить более удобное для вычислений выражение:

$ F (h_1 - h_2) = h_1 d_1 - h_2 d_2 $

$ F = \frac{h_1 d_1 - h_2 d_2}{h_1 - h_2} $

Подставим числовые значения из условия, переведенные в систему СИ:

$ F = \frac{0,03 \text{ м} \cdot 2 \text{ м} - 0,015 \text{ м} \cdot 3,9 \text{ м}}{0,03 \text{ м} - 0,015 \text{ м}} = \frac{0,06 \text{ м}^2 - 0,0585 \text{ м}^2}{0,015 \text{ м}} = \frac{0,0015 \text{ м}^2}{0,015 \text{ м}} = 0,1 \text{ м} $

Фокусное расстояние объектива равно $0,1$ м или $100$ мм.

Ответ: $0,1$ м.