Номер 7.228, страница 177 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Колебания и волны. Глава 7. Геометрическая оптика. Системы линз. Оптические приборы - номер 7.228, страница 177.

Условие.

7.228* При некотором положении предмета лупа дала 4-кратное увеличение. Каким станет увеличение, если расстояние от предмета до лупы уменьшить в 1,5 раза?

Решение.

Дано:

Начальное увеличение лупы, $\Gamma_1 = 4$.

Новое расстояние от предмета до лупы, $d_2 = \frac{d_1}{1.5}$.

Найти:

Новое увеличение лупы, $\Gamma_2$.

Решение:

Лупа является собирающей линзой. Чтобы она давала увеличенное мнимое изображение, предмет должен располагаться между линзой и ее главным фокусом. Формула тонкой линзы для случая мнимого изображения (когда изображение и предмет находятся по одну сторону от линзы) имеет вид:

$\frac{1}{F} = \frac{1}{d} - \frac{1}{f}$

где $\text{F}$ — фокусное расстояние линзы, $\text{d}$ — расстояние от предмета до линзы, а $\text{f}$ — расстояние от линзы до мнимого изображения.

Увеличение $\Gamma$, даваемое линзой, определяется как отношение расстояния до изображения к расстоянию до предмета:

$\Gamma = \frac{f}{d}$

1. Рассмотрим начальное состояние.

Пусть начальное расстояние от предмета до лупы было $d_1$, а расстояние до изображения — $f_1$.

Из условия известно начальное увеличение:

$\Gamma_1 = \frac{f_1}{d_1} = 4$

Отсюда можно выразить расстояние до изображения через расстояние до предмета: $f_1 = 4d_1$.

Теперь подставим это выражение в формулу тонкой линзы, чтобы связать фокусное расстояние $\text{F}$ с начальным расстоянием до предмета $d_1$. Фокусное расстояние является постоянной характеристикой линзы.

$\frac{1}{F} = \frac{1}{d_1} - \frac{1}{f_1} = \frac{1}{d_1} - \frac{1}{4d_1} = \frac{4-1}{4d_1} = \frac{3}{4d_1}$

Таким образом, мы нашли, что $F = \frac{4d_1}{3}$.

2. Рассмотрим новое состояние.

Расстояние от предмета до лупы уменьшили в 1,5 раза, то есть новое расстояние $d_2 = \frac{d_1}{1.5}$.

Найдем новое расстояние до изображения $f_2$, используя формулу тонкой линзы и найденное выражение для фокусного расстояния $\text{F}$:

$\frac{1}{F} = \frac{1}{d_2} - \frac{1}{f_2}$

Подставим известные значения:

$\frac{3}{4d_1} = \frac{1}{d_1 / 1.5} - \frac{1}{f_2}$

$\frac{3}{4d_1} = \frac{1.5}{d_1} - \frac{1}{f_2}$

Выразим из этого уравнения $\frac{1}{f_2}$:

$\frac{1}{f_2} = \frac{1.5}{d_1} - \frac{3}{4d_1} = \frac{1.5 \cdot 4}{4d_1} - \frac{3}{4d_1} = \frac{6-3}{4d_1} = \frac{3}{4d_1}$

Отсюда находим новое расстояние до изображения: $f_2 = \frac{4d_1}{3}$.

3. Найдем новое увеличение $\Gamma_2$.

$\Gamma_2 = \frac{f_2}{d_2}$

Подставим найденные выражения для $f_2$ и $d_2$:

$\Gamma_2 = \frac{4d_1/3}{d_1/1.5} = \frac{4d_1}{3} \cdot \frac{1.5}{d_1} = \frac{4 \cdot 1.5}{3} = \frac{6}{3} = 2$

Ответ: увеличение станет равным 2.