Номер 7.230, страница 177 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Колебания и волны. Глава 7. Геометрическая оптика. Системы линз. Оптические приборы - номер 7.230, страница 177.

Условие.

7.230. При фотографировании с расстояния 50 м высота изображения дерева на негативе оказалась равной 15 мм. Какова высота дерева, если фокусное расстояние объектива 5 см?

Решение.

Дано:

Расстояние до объекта (дерева), $d = 50$ м

Высота изображения на негативе, $h = 15$ мм

Фокусное расстояние объектива, $F = 5$ см

Перевод в систему СИ:

$h = 15 \text{ мм} = 15 \cdot 10^{-3} \text{ м} = 0.015 \text{ м}$

$F = 5 \text{ см} = 5 \cdot 10^{-2} \text{ м} = 0.05 \text{ м}$

Найти:

Высота дерева, $\text{H}$

Решение:

Для нахождения высоты дерева воспользуемся формулой тонкой линзы и формулой линейного увеличения.

Формула тонкой линзы имеет вид:

$\frac{1}{F} = \frac{1}{d} + \frac{1}{f}$

где $\text{F}$ — фокусное расстояние линзы, $\text{d}$ — расстояние от предмета до линзы, $\text{f}$ — расстояние от линзы до изображения.

Линейное увеличение линзы $\Gamma$ равно отношению высоты изображения $\text{h}$ к высоте предмета $\text{H}$, а также отношению расстояния от линзы до изображения $\text{f}$ к расстоянию от предмета до линзы $\text{d}$:

$\Gamma = \frac{h}{H} = \frac{f}{d}$

Поскольку расстояние до дерева $d = 50$ м значительно больше фокусного расстояния объектива $F = 0.05$ м ($d \gg F$), изображение будет формироваться очень близко к фокальной плоскости. Поэтому можно принять, что расстояние от линзы до изображения приблизительно равно фокусному расстоянию: $f \approx F$.

Тогда формула увеличения примет вид:

$\frac{h}{H} \approx \frac{F}{d}$

Из этой формулы выразим высоту дерева $\text{H}$:

$H \approx \frac{h \cdot d}{F}$

Подставим числовые значения в систему СИ:

$H \approx \frac{0.015 \text{ м} \cdot 50 \text{ м}}{0.05 \text{ м}} = \frac{0.75 \text{ м}^2}{0.05 \text{ м}} = 15 \text{ м}$

Для проверки можно выполнить точный расчет, не используя приближение $f \approx F$.

Сначала найдем точное значение $\text{f}$ из формулы тонкой линзы:

$\frac{1}{f} = \frac{1}{F} - \frac{1}{d} = \frac{d - F}{d \cdot F}$

$f = \frac{d \cdot F}{d - F} = \frac{50 \cdot 0.05}{50 - 0.05} = \frac{2.5}{49.95} \approx 0.05005 \text{ м}$

Теперь найдем $\text{H}$ из формулы увеличения:

$H = \frac{h \cdot d}{f} = \frac{0.015 \cdot 50}{0.05005} \approx 14.985 \text{ м}$

Результат практически не отличается от полученного с помощью приближения.

Ответ: высота дерева составляет 15 м.