Номер 7.223, страница 176 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Колебания и волны. Глава 7. Геометрическая оптика. Системы линз. Оптические приборы - номер 7.223, страница 176.

Условие.

7.223. Два наблюдателя — один близорукий, другой дальнозоркий — рассматривают предмет с помощью одинаковых луп. Кому из наблюдателей приходится помещать предмет ближе к лупе, если расстояние от лупы до глаза у обоих наблюдателей одинаково?

Решение.

Для того чтобы рассмотреть предмет с помощью лупы, его необходимо поместить на расстоянии $\text{d}$ от лупы, меньшем её фокусного расстояния $\text{F}$. При этом лупа создаст прямое, увеличенное, мнимое изображение предмета. Наблюдатель сможет чётко видеть это изображение, если оно будет находиться на расстоянии не ближе, чем расстояние наилучшего зрения его глаза (ближняя точка ясного видения).

Дано:
Лупа с фокусным расстоянием $\text{F}$.
Близорукий наблюдатель, для которого расстояние наилучшего зрения равно $D_б$.
Дальнозоркий наблюдатель, для которого расстояние наилучшего зрения равно $D_д$.
По определению близорукости и дальнозоркости, ближняя точка у близорукого человека находится ближе, чем у дальнозоркого: $D_б < D_д$.

Найти:
Сравнить расстояние от предмета до лупы для близорукого наблюдателя ($d_б$) и для дальнозоркого наблюдателя ($d_д$).

Решение:
Связь между расстоянием от предмета до линзы $\text{d}$, расстоянием от изображения до линзы $\text{f}$ и фокусным расстоянием линзы $\text{F}$ описывается формулой тонкой линзы: $ \frac{1}{F} = \frac{1}{d} + \frac{1}{f} $

Лупа создает мнимое изображение, поэтому расстояние до него $\text{f}$ принимается отрицательным. Обозначим расстояние от линзы до мнимого изображения как $|f|$. Тогда формула примет вид: $ \frac{1}{F} = \frac{1}{d} - \frac{1}{|f|} $

Чтобы наблюдатель мог видеть четкое изображение, оно должно находиться на расстоянии, равном или большем расстояния наилучшего зрения $\text{D}$. Для получения максимального увеличения наблюдатель инстинктивно располагает предмет так, чтобы мнимое изображение находилось точно на расстоянии наилучшего зрения. Таким образом, для каждого наблюдателя $|f| = D$.

Выразим расстояние $\text{d}$ от предмета до линзы из формулы: $ \frac{1}{d} = \frac{1}{F} + \frac{1}{|f|} $ $ d = \frac{1}{\frac{1}{F} + \frac{1}{|f|}} = \frac{F \cdot |f|}{F + |f|} $

Применим эту формулу для обоих наблюдателей, подставив их расстояния наилучшего зрения:

Для близорукого наблюдателя: $|f| = D_б$, следовательно, расстояние до предмета: $ d_б = \frac{F \cdot D_б}{F + D_б} $

Для дальнозоркого наблюдателя: $|f| = D_д$, следовательно, расстояние до предмета: $ d_д = \frac{F \cdot D_д}{F + D_д} $

Теперь необходимо сравнить $d_б$ и $d_д$. Проанализируем функцию $d(|f|) = \frac{F \cdot |f|}{F + |f|}$. Эта функция является возрастающей по переменной $|f|$ (при $|f| > 0$ и $F > 0$). Это означает, что чем больше расстояние до изображения $|f|$, тем больше и расстояние до предмета $\text{d}$.

По условию, у близорукого наблюдателя расстояние наилучшего зрения меньше, чем у дальнозоркого: $ D_б < D_д $

Поскольку функция $d(|f|)$ возрастающая, из неравенства $D_б < D_д$ следует, что: $ d_б < d_д $

Это означает, что близорукому наблюдателю приходится помещать предмет ближе к лупе, чтобы мнимое изображение сформировалось на его (более близком) расстоянии наилучшего зрения.

Ответ: Ближе к лупе приходится помещать предмет близорукому наблюдателю.