Номер 7.221, страница 176 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Колебания и волны. Глава 7. Геометрическая оптика. Системы линз. Оптические приборы - номер 7.221, страница 176.

Условие.

7.221. Расстояние между соседними светочувствительными клетками сетчатки глаза человека (5 мкм) определяет разрешающую способность глаза. Разрешающая способность характеризуется минимальным углом зрения $\alpha_{min}$, под которым две точки видны раздельно. Для глаза при хорошей освещённости предмета $\alpha_{min} = 1'$. На каком наибольшем расстоянии человек с нормальным зрением увидит точки A и B раздельно, если диаметр яблока 8 см (рис. 7.48)?

Рис. 7.48

Решение.

Дано:

Минимальный угол зрения, $\alpha_{min} = 1'$ (одна угловая минута)

Диаметр яблока (расстояние между точками А и В), $d = 8$ см

Перевод в систему СИ:

Угол $\alpha_{min}$ необходимо перевести в радианы. Зная, что $1^{\circ} = 60'$, а $180^{\circ} = \pi$ радиан, получим:

$\alpha_{min} = 1' = \left(\frac{1}{60}\right)^{\circ} = \frac{1}{60} \cdot \frac{\pi}{180} \text{ рад} \approx 2.91 \cdot 10^{-4} \text{ рад}$

Диаметр $\text{d}$ переведем в метры:

$d = 8 \text{ см} = 0.08 \text{ м}$

Найти:

Наибольшее расстояние до яблока, $\text{L}$ - ?

Решение:

Разрешающая способность глаза характеризуется минимальным углом зрения $\alpha_{min}$, под которым две точки еще видны раздельно. На предельном расстоянии $\text{L}$ диаметр яблока $\text{d}$ будет виден как раз под этим углом.

Можно рассмотреть прямоугольный треугольник, где один катет — это расстояние $\text{L}$ до яблока, а противолежащий катет — это диаметр яблока $\text{d}$. Тогда тангенс угла зрения связан с этими величинами соотношением:

$\tan(\alpha_{min}) = \frac{d}{L}$

Поскольку угол $\alpha_{min}$ очень мал, можно использовать приближение для малых углов, выраженных в радианах: $\tan(\alpha_{min}) \approx \alpha_{min}$.

Тогда формула принимает вид:

$\alpha_{min} \approx \frac{d}{L}$

Из этого соотношения выразим искомое расстояние $\text{L}$:

$L \approx \frac{d}{\alpha_{min}}$

Подставим значения, переведенные в систему СИ:

$L \approx \frac{0.08 \text{ м}}{\frac{1}{60} \cdot \frac{\pi}{180} \text{ рад}} = \frac{0.08 \cdot 60 \cdot 180}{\pi} \text{ м} = \frac{864}{\pi} \text{ м} \approx 275.02 \text{ м}$

Округлим результат до целого значения.

Ответ: Наибольшее расстояние, на котором человек с нормальным зрением увидит точки А и В раздельно, составляет приблизительно 275 м.