Номер 7.227, страница 177 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Колебания и волны. Глава 7. Геометрическая оптика. Системы линз. Оптические приборы - номер 7.227, страница 177.

Условие.

7.227. Чему должны быть равны радиусы кривизны поверхностей, ограничивающих лупу ($R_1 = R_2$), чтобы она давала увеличение для нормального глаза, равное 10? Показатель преломления стекла, из которого сделана лупа, 1,5.

Решение.

Дано:

Угловое увеличение лупы, $G = 10$.

Показатель преломления стекла, $n = 1,5$.

Радиусы кривизны поверхностей одинаковы, $R_1 = R_2 = R$.

Расстояние наилучшего зрения для нормального глаза, $d_0 = 25$ см.

Перевод в систему СИ:

$d_0 = 0,25$ м.

Найти:

Радиус кривизны поверхностей линзы, $\text{R}$.

Решение:

Увеличение $\text{G}$, которое дает лупа для нормального глаза, когда изображение формируется на бесконечности (наблюдение расслабленным глазом), определяется отношением расстояния наилучшего зрения $d_0$ к фокусному расстоянию линзы $\text{F}$:

$G = \frac{d_0}{F}$

Из этой формулы мы можем найти требуемое фокусное расстояние лупы:

$F = \frac{d_0}{G}$

Фокусное расстояние тонкой линзы связано с показателем преломления ее материала $\text{n}$ и радиусами кривизны ее сферических поверхностей $R_1$ и $R_2$ с помощью формулы шлифовщика линз:

$\frac{1}{F} = (n-1)\left(\frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2}\right)$

Лупа является собирающей линзой, и в данном случае, при условии $R_1 = R_2$, имеется в виду двояковыпуклая линза с одинаковыми по модулю радиусами кривизны. Согласно правилу знаков, для света, идущего слева направо, радиус первой поверхности считается положительным ($R_1 = R$), а радиус второй поверхности — отрицательным ($R_2 = -R$).

Подставим эти значения в формулу:

$\frac{1}{F} = (n-1)\left(\frac{1}{R} - \frac{1}{-R}\right) = (n-1)\left(\frac{1}{R} + \frac{1}{R}\right) = (n-1)\frac{2}{R}$

Мы имеем два выражения для оптической силы линзы $(\frac{1}{F})$. Приравняем их:

$\frac{G}{d_0} = \frac{2(n-1)}{R}$

Теперь выразим искомый радиус кривизны $\text{R}$:

$R = \frac{2(n-1)d_0}{G}$

Подставим числовые значения из условия задачи:

$R = \frac{2(1,5 - 1) \cdot 0,25 \text{ м}}{10} = \frac{2 \cdot 0,5 \cdot 0,25}{10} = \frac{1 \cdot 0,25}{10} = 0,025$ м.

Переведем результат в сантиметры:

$R = 0,025 \text{ м} = 2,5$ см.

Ответ: радиусы кривизны поверхностей лупы должны быть равны 2,5 см.