Номер 7.222, страница 176 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Колебания и волны. Глава 7. Геометрическая оптика. Системы линз. Оптические приборы - номер 7.222, страница 176.

Условие.

7.222. Вычислите наименьшее расстояние между делениями шкалыизмерительного прибора, которые бы человек с нормальным зрением от-чётливо различал с расстояния 5 м.

Решение.

Дано:

Расстояние от наблюдателя до шкалы прибора, $L = 5$ м.

Минимальный угол зрения (разрешающая способность) для человека с нормальным зрением, $\phi = 1'$ (одна угловая минута). Это стандартное значение, принимаемое в таких задачах.

Переведем угол зрения в систему СИ (радианы):

Так как $1^{\circ} = 60'$, а $180^{\circ} = \pi$ рад, то:

$\phi = 1' = \left(\frac{1}{60}\right)^{\circ} = \frac{1}{60} \cdot \frac{\pi}{180} \text{ рад} = \frac{\pi}{10800} \text{ рад}$

$\phi \approx 2.91 \cdot 10^{-4} \text{ рад}$

Найти:

Наименьшее расстояние между делениями шкалы, $\text{l}$ - ?

Решение:

Разрешающая способность глаза определяется минимальным углом зрения, под которым две точки еще воспринимаются как раздельные. Чтобы человек мог отчётливо различать два соседних деления на шкале, угловое расстояние между ними должно быть не меньше разрешающей способности глаза, то есть $\phi = 1'$.

Расстояние между делениями $\text{l}$ можно рассматривать как длину дуги окружности с радиусом $\text{L}$ (расстояние до шкалы), стягиваемой углом $\phi$. Для малых углов, выраженных в радианах, длина дуги практически равна длине хорды, и мы можем использовать формулу:

$l \approx L \cdot \phi$

Где $\phi$ — угол в радианах.

Подставим известные значения в формулу:

$l = 5 \text{ м} \cdot \frac{\pi}{10800} \text{ рад} = \frac{5\pi}{10800} \text{ м} = \frac{\pi}{2160} \text{ м}$

Вычислим числовое значение:

$l \approx \frac{3.14159}{2160} \approx 0.001454 \text{ м}$

Для удобства восприятия переведем результат в миллиметры ($\text{1}$ м $= 1000$ мм):

$l \approx 0.001454 \cdot 1000 \text{ мм} = 1.454 \text{ мм}$

Округлим результат до десятых долей миллиметра.

$l \approx 1.5 \text{ мм}$

Ответ: наименьшее расстояние между делениями шкалы, которое человек с нормальным зрением отчетливо различал бы с расстояния 5 м, составляет примерно 1,5 мм.