Номер 7.219, страница 176 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Колебания и волны. Глава 7. Геометрическая оптика. Системы линз. Оптические приборы - номер 7.219, страница 176.

Условие.

7.219*. Ближний и дальний пределы аккомодации глаза близорукого человека 10 см и 30 см. Человек носит очки, в которых хорошо видит удалённые предметы. На каком наименьшем расстоянии он может держать книгу, читая в этих очках?

Решение.

Дано:

Ближний предел аккомодации (расстояние наилучшего зрения без очков): $d_{ближ} = 10 \text{ см}$

Дальний предел аккомодации (самая дальняя точка, которую человек видит четко без очков): $d_{даль} = 30 \text{ см}$

$d_{ближ} = 0.1 \text{ м}$
$d_{даль} = 0.3 \text{ м}$

Найти:

Наименьшее расстояние, на котором человек может читать книгу в очках $d_{min}$ — ?

Решение:

1. Сначала определим оптическую силу $\text{D}$ очков. Очки для близорукого человека должны позволять ему четко видеть удаленные предметы. Это означает, что лучи от бесконечно удаленного предмета ($d = \infty$), пройдя через линзу очков, должны давать мнимое изображение на расстоянии дальнего предела аккомодации глаза $d_{даль}$.

Используем формулу тонкой линзы:

$D = \frac{1}{F} = \frac{1}{d} + \frac{1}{f}$

где $\text{F}$ – фокусное расстояние линзы, $\text{d}$ – расстояние до предмета, $\text{f}$ – расстояние до изображения.

Для удаленных предметов $d = \infty$, поэтому $\frac{1}{d} = 0$. Изображение мнимое, поэтому расстояние до него берется со знаком минус: $f = -d_{даль}$.

Тогда оптическая сила очков:

$D = \frac{1}{\infty} + \frac{1}{-d_{даль}} = -\frac{1}{d_{даль}}$

$D = -\frac{1}{0.3 \text{ м}} = -\frac{10}{3} \text{ дптр}$

2. Теперь найдем наименьшее расстояние $d_{min}$, на котором человек может читать книгу в этих очках. Чтение на минимальном расстоянии требует максимального напряжения глаз (максимальной аккомодации). Это означает, что очки должны создавать мнимое изображение книги на расстоянии ближнего предела аккомодации глаза $d_{ближ}$.

В этом случае расстояние до предмета (книги) равно $d = d_{min}$, а расстояние до мнимого изображения $f = -d_{ближ}$.

Подставим эти значения в формулу тонкой линзы с уже известной оптической силой $\text{D}$:

$D = \frac{1}{d_{min}} + \frac{1}{-d_{ближ}}$

$-\frac{1}{d_{даль}} = \frac{1}{d_{min}} - \frac{1}{d_{ближ}}$

Выразим $\frac{1}{d_{min}}$:

$\frac{1}{d_{min}} = \frac{1}{d_{ближ}} - \frac{1}{d_{даль}}$

Подставим числовые значения:

$\frac{1}{d_{min}} = \frac{1}{0.1 \text{ м}} - \frac{1}{0.3 \text{ м}} = \frac{3 - 1}{0.3 \text{ м}} = \frac{2}{0.3 \text{ м}}$

Отсюда находим $d_{min}$:

$d_{min} = \frac{0.3 \text{ м}}{2} = 0.15 \text{ м} = 15 \text{ см}$

Ответ: Наименьшее расстояние, на котором человек может держать книгу, читая в этих очках, равно 15 см.