Номер 7.234, страница 177 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Колебания и волны. Глава 7. Геометрическая оптика. Системы линз. Оптические приборы - номер 7.234, страница 177.

Условие.

7.234. Репортёр, стоящий в 10 м от дороги, фотографирует велогонщика, движущегося со скоростью 36 км/ч. Фокусное расстояние объектива 50 мм. Каким должно быть время экспозиции, чтобы размытие изображения не превышало 0,1 мм?

Решение.

Дано

Расстояние от репортёра до дороги, $d = 10$ м
Скорость велогонщика, $v = 36$ км/ч
Фокусное расстояние объектива, $F = 50$ мм
Максимальное размытие изображения, $\Delta l_{max} = 0,1$ мм

Перевод в систему СИ:
$v = 36 \frac{км}{ч} = 36 \cdot \frac{1000 \text{ м}}{3600 \text{ с}} = 10$ м/с
$F = 50 \text{ мм} = 50 \cdot 10^{-3} \text{ м} = 0,05$ м
$\Delta l_{max} = 0,1 \text{ мм} = 0,1 \cdot 10^{-3} \text{ м} = 10^{-4}$ м

Найти:

Время экспозиции, $\Delta t$

Решение

Размытие изображения происходит из-за того, что за время экспозиции $\Delta t$ велогонщик успевает проехать некоторое расстояние $\Delta s$. Это смещение объекта приводит к смещению его изображения на фотоплёнке или матрице фотоаппарата на величину $\Delta l$.
1. Найдём расстояние, которое проезжает велогонщик за время экспозиции $\Delta t$:
$\Delta s = v \cdot \Delta t$
2. Связь между размером (или смещением) объекта $\Delta s$ и размером (или смещением) его изображения $\Delta l$ определяется поперечным увеличением линзы $\Gamma$:
$\Gamma = \frac{\Delta l}{\Delta s}$
3. Поперечное увеличение также равно отношению расстояния от линзы до изображения $\text{f}$ к расстоянию от линзы до объекта $\text{d}$:
$\Gamma = \frac{f}{d}$
4. Расстояние от линзы до изображения $\text{f}$ можно найти из формулы тонкой линзы:$\frac{1}{F} = \frac{1}{d} + \frac{1}{f}$
Поскольку расстояние до объекта $d = 10$ м намного больше фокусного расстояния $F = 0,05$ м, изображение будет формироваться очень близко к фокальной плоскости, то есть можно принять $f \approx F$.
Тогда увеличение можно рассчитать как:$\Gamma \approx \frac{F}{d}$
5. Объединим формулы. С одной стороны, $\Delta l = \Gamma \cdot \Delta s$. С другой, $\Delta s = v \cdot \Delta t$. Следовательно:$\Delta l = \Gamma \cdot v \cdot \Delta t$
Подставим сюда выражение для увеличения $\Gamma \approx \frac{F}{d}$:$\Delta l = \frac{F}{d} \cdot v \cdot \Delta t$
6. Выразим из этой формулы время экспозиции $\Delta t$:$\Delta t = \frac{\Delta l \cdot d}{F \cdot v}$
По условию, размытие не должно превышать $\Delta l_{max}$, значит, время экспозиции должно удовлетворять условию:$\Delta t \le \frac{\Delta l_{max} \cdot d}{F \cdot v}$
Подставим числовые значения:$\Delta t \le \frac{10^{-4} \text{ м} \cdot 10 \text{ м}}{0,05 \text{ м} \cdot 10 \text{ м/с}} = \frac{10^{-3}}{0,5} \text{ с} = 2 \cdot 10^{-3} \text{ с}$
Таким образом, время экспозиции не должно превышать 0,002 секунды или 2 миллисекунды.

Ответ: время экспозиции должно быть не более $0,002$ с.