Номер 7.235, страница 177 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Колебания и волны. Глава 7. Геометрическая оптика. Системы линз. Оптические приборы - номер 7.235, страница 177.

Условие.

7.235*. Автомобиль движется на расстоянии $250 \text{ м}$ от фотоаппарата, фокусное расстояние объектива которого $50 \text{ см}$. Размытие изображения при экспозиции $5 \text{ мс}$ оказалось равным $0.2 \text{ мм}$. С какой скоростью двигался автомобиль?

Решение.

Дано

Расстояние до автомобиля, $d = 250$ м
Фокусное расстояние, $F = 50$ см = $0,5$ м
Время экспозиции, $\Delta t = 5$ мс = $5 \cdot 10^{-3}$ с
Размытие изображения, $\Delta l = 0,2$ мм = $0,2 \cdot 10^{-3}$ м = $2 \cdot 10^{-4}$ м

Найти:

Скорость автомобиля, $\text{v}$

Решение

Скорость автомобиля $\text{v}$ можно найти как отношение пройденного им пути $\Delta s$ ко времени движения $\Delta t$, которое равно времени экспозиции:

$v = \frac{\Delta s}{\Delta t}$

За время экспозиции $\Delta t$ изображение автомобиля на светочувствительном элементе фотоаппарата сместилось на расстояние $\Delta l$ (размытие). Это смещение связано с перемещением самого автомобиля $\Delta s$ через поперечное увеличение линзы $\Gamma$.

$\Gamma = \frac{\Delta l}{\Delta s}$

Поперечное увеличение также определяется отношением расстояния от линзы до изображения $\text{f}$ к расстоянию от линзы до объекта $\text{d}$.

$\Gamma = \frac{f}{d}$

Расстояние от линзы до изображения $\text{f}$ найдем из формулы тонкой линзы:

$\frac{1}{F} = \frac{1}{d} + \frac{1}{f}$

Поскольку расстояние до автомобиля $\text{d}$ значительно больше фокусного расстояния $\text{F}$ ($d \gg F$), изображение будет формироваться очень близко к фокальной плоскости. Поэтому можно принять, что расстояние от линзы до изображения приблизительно равно фокусному расстоянию: $f \approx F$.

С учетом этого приближения, формула для увеличения принимает вид:

$\Gamma \approx \frac{F}{d}$

Теперь мы можем приравнять два выражения для увеличения:

$\frac{\Delta l}{\Delta s} \approx \frac{F}{d}$

Из этого соотношения выразим путь, пройденный автомобилем $\Delta s$:

$\Delta s \approx \frac{\Delta l \cdot d}{F}$

Подставим полученное выражение для $\Delta s$ в формулу скорости:

$v \approx \frac{\Delta l \cdot d}{F \cdot \Delta t}$

Подставим числовые значения из условия задачи, переведенные в систему СИ:

$v \approx \frac{2 \cdot 10^{-4} \text{ м} \cdot 250 \text{ м}}{0,5 \text{ м} \cdot 5 \cdot 10^{-3} \text{ с}} = \frac{500 \cdot 10^{-4}}{2,5 \cdot 10^{-3}} = \frac{0,05}{0,0025} = 20$ м/с.

Ответ: скорость автомобиля равна $\text{20}$ м/с.