Номер 7.236, страница 177 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Колебания и волны. Глава 7. Геометрическая оптика. Системы линз. Оптические приборы - номер 7.236, страница 177.

Условие.

7.236* Каким должно быть время экспозиции при фотографировании погружения спортсмена в воду при прыжке с вышки высотой 10 м, если допустимое размытие изображения не должно превышать 0,1 мм? Фотоаппарат установлен на расстоянии 20 м от места погружения, фокусное расстояние объектива 5 м.

Решение.

Дано:

Высота вышки, $h = 10$ м

Допустимое размытие изображения, $\Delta l = 0,1$ мм

Расстояние от фотоаппарата до места погружения, $d = 20$ м

Фокусное расстояние объектива, $F = 5$ м

Ускорение свободного падения, $g \approx 9,8$ м/с²

Перевод в систему СИ:

$\Delta l = 0,1$ мм $= 0,1 \cdot 10^{-3}$ м $= 10^{-4}$ м

Найти:

Время экспозиции, $\Delta t$

Решение:

Размытие изображения на фотографии возникает из-за того, что за время экспозиции $\Delta t$ (время, пока затвор фотоаппарата открыт) движущийся объект успевает сместиться. Чтобы изображение не было размытым сверх допустимой нормы, это смещение на фоточувствительном элементе (пленке или матрице) не должно превышать $\Delta l$.

Решение задачи состоит из нескольких шагов:

1. Определить скорость спортсмена $\text{v}$ в момент входа в воду.

2. Найти связь между смещением спортсмена в пространстве $\Delta H$ за время $\Delta t$ и размытием его изображения $\Delta l$ на фото. Эта связь определяется линейным увеличением $\text{G}$ объектива.

3. Используя эту связь, рассчитать максимальное время экспозиции $\Delta t$.

Шаг 1. Расчет скорости спортсмена.

Считаем, что спортсмен совершает свободное падение с высоты $\text{h}$ с нулевой начальной скоростью. Его скорость $\text{v}$ у поверхности воды можно найти из закона сохранения энергии (потенциальная энергия на высоте переходит в кинетическую у воды) или по формуле кинематики для равноускоренного движения:

$h = \frac{v^2 - v_0^2}{2g}$

Так как начальная скорость $v_0 = 0$, получаем:

$v = \sqrt{2gh}$

Подставим числовые значения:

$v = \sqrt{2 \cdot 9,8 \frac{м}{с^2} \cdot 10 м} = \sqrt{196 \frac{м^2}{с^2}} = 14$ м/с.

Шаг 2. Определение линейного увеличения объектива.

Линейное увеличение $\text{G}$ показывает, во сколько раз изображение больше (или меньше) объекта. Оно зависит от расстояния до объекта $\text{d}$ и расстояния до изображения $\text{f}$. Найдем $\text{f}$ с помощью формулы тонкой линзы:

$\frac{1}{d} + \frac{1}{f} = \frac{1}{F}$

Выразим отсюда $\frac{1}{f}$:

$\frac{1}{f} = \frac{1}{F} - \frac{1}{d} = \frac{1}{5 м} - \frac{1}{20 м} = \frac{4 - 1}{20 м} = \frac{3}{20}$ м$^{-1}$

Следовательно, расстояние от объектива до изображения:

$f = \frac{20}{3}$ м.

Теперь можем рассчитать линейное увеличение:

$G = \frac{f}{d} = \frac{20/3 м}{20 м} = \frac{1}{3}$.

Шаг 3. Расчет времени экспозиции.

За время экспозиции $\Delta t$ спортсмен, двигаясь со скоростью $\text{v}$, сместится на расстояние $\Delta H = v \cdot \Delta t$.

Это смещение объекта вызовет размытие изображения на величину $\Delta l$, которое связано с $\Delta H$ через линейное увеличение:

$\Delta l = G \cdot \Delta H$

Подставим сюда выражение для $\Delta H$:

$\Delta l = G \cdot v \cdot \Delta t$

Теперь выразим из этой формулы искомое время экспозиции $\Delta t$:

$\Delta t = \frac{\Delta l}{G \cdot v}$

Подставим все известные числовые значения в СИ:

$\Delta t = \frac{10^{-4} м}{\frac{1}{3} \cdot 14 \frac{м}{с}} = \frac{3 \cdot 10^{-4}}{14} с \approx 0,214 \cdot 10^{-4} с = 2,14 \cdot 10^{-5}$ с.

Ответ: время экспозиции должно быть не более $2,14 \cdot 10^{-5}$ с (что составляет 21,4 микросекунды).