Номер 8.50, страница 187 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Колебания и волны. Глава 8. Волновая оптика. Интерференция света - номер 8.50, страница 187.

Условие.

8.50*. Кольца Ньютона образуются между плоским стеклом и линзой с радиусом кривизны 8,6 м. Монохроматический свет падает нормально. Диаметр четвёртого тёмного кольца (считая центральное тёмное пятно за нулевое) равен 8 мм. Найдите длину волны падающего света.

Решение.

Дано:

Радиус кривизны линзы, $R = 8,6$ м

Порядок тёмного кольца, $m = 4$

Диаметр четвёртого тёмного кольца, $d_4 = 8$ мм

$R = 8,6$ м
$d_4 = 8 \cdot 10^{-3}$ м

Найти:

Длину волны падающего света, $\lambda$

Решение:

Кольца Ньютона представляют собой интерференционную картину, возникающую при отражении света от двух поверхностей: сферической поверхности линзы и плоской стеклянной пластины. Условие образования тёмных колец (интерференционных минимумов) в отраженном свете определяется разностью хода лучей. Для нормального падения света оно имеет вид:

$2 h n = m \lambda$

где $\text{h}$ — толщина воздушного зазора в месте расположения m-го кольца, $\text{n}$ — показатель преломления среды в зазоре (для воздуха $n \approx 1$), $\lambda$ — длина волны света, а $\text{m}$ — порядок минимума ($m = 0, 1, 2, ...$). По условию, центральное тёмное пятно считается нулевым, значит для четвёртого тёмного кольца $m=4$.

Толщину воздушного зазора $\text{h}$ можно связать с радиусом кривизны линзы $\text{R}$ и радиусом кольца $r_m$. Из геометрических соображений для линз с большим радиусом кривизны ($h \ll R$) справедлива приближенная формула:

$r_m^2 \approx 2Rh$

Из этой формулы выразим толщину зазора $\text{h}$:

$h = \frac{r_m^2}{2R}$

Теперь подставим это выражение в условие минимума, приняв $n=1$:

$2 \cdot \frac{r_m^2}{2R} = m \lambda$

$\frac{r_m^2}{R} = m \lambda$

Отсюда можно выразить искомую длину волны $\lambda$:

$\lambda = \frac{r_m^2}{mR}$

Радиус четвёртого тёмного кольца $r_4$ связан с его диаметром $d_4$ соотношением $r_4 = d_4 / 2$. Подставим это в формулу:

$\lambda = \frac{(d_4/2)^2}{mR} = \frac{d_4^2}{4mR}$

Произведём вычисления, подставив числовые значения в системе СИ:

$\lambda = \frac{(8 \cdot 10^{-3})^2}{4 \cdot 4 \cdot 8,6} = \frac{64 \cdot 10^{-6}}{16 \cdot 8,6} = \frac{4 \cdot 10^{-6}}{8,6} \approx 0,4651 \cdot 10^{-6}$ м

Переводя в нанометры ($1 \text{ нм} = 10^{-9} \text{ м}$), получаем:

$\lambda \approx 465,1$ нм

Ответ:

Длина волны падающего света равна примерно 465 нм.