Номер 8.45, страница 186 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Колебания и волны. Глава 8. Волновая оптика. Интерференция света - номер 8.45, страница 186.

Условие.

8.45*. При нормальном освещении кварцевого клина с углом $\varphi = 5''$ светом с длиной волны $\lambda = 600 \text{ нм}$ наблюдаются интерференционные полосы. Определите ширину этих полос.

Решение.

Дано:

Угол клина $ \varphi = 5'' $

Длина волны света $ \lambda = 600 \text{ нм} $

Материал клина - кварц. Показатель преломления кварцевого стекла (плавленого кварца) для данной длины волны $ n \approx 1,46 $.

Переведем данные в систему СИ:

$ \lambda = 600 \text{ нм} = 600 \cdot 10^{-9} \text{ м} = 6 \cdot 10^{-7} \text{ м} $

$ \varphi = 5'' = 5 \text{ угловых секунд} = 5 \cdot \frac{1}{3600} \text{ градусов} = 5 \cdot \frac{1}{3600} \cdot \frac{\pi}{180} \text{ рад} \approx 2,424 \cdot 10^{-5} \text{ рад} $

Найти:

Ширину интерференционных полос $ L $.

Решение:

Интерференционные полосы возникают в результате сложения световых волн, отраженных от передней и задней поверхностей кварцевого клина. Полосы равной толщины наблюдаются в тех местах, где оптическая разность хода лучей удовлетворяет условиям интерференционного максимума или минимума.

Оптическая разность хода $ \Delta $ для лучей, отраженных от двух поверхностей клина, при нормальном падении света определяется формулой:

$ \Delta = 2nd + \frac{\lambda}{2} $

где $ n $ — показатель преломления материала клина, $ d $ — толщина клина в рассматриваемой точке. Добавочное слагаемое $ \frac{\lambda}{2} $ возникает из-за потери полуволны при отражении света от оптически более плотной среды (на границе воздух-кварц).

Условие образования темных интерференционных полос (минимумов) имеет вид:

$ \Delta = (m + \frac{1}{2})\lambda $, где $ m = 0, 1, 2, ... $ — порядок интерференции.

Подставляя выражение для $ \Delta $, получаем:

$ 2nd + \frac{\lambda}{2} = (m + \frac{1}{2})\lambda $

Отсюда условие для темных полос:

$ 2nd = m\lambda $

Толщина клина $ d $ на расстоянии $ x $ от его вершины связана с углом клина $ \varphi $. Для малых углов, выраженных в радианах, можно считать, что:

$ d = x \tan\varphi \approx x\varphi $

Тогда условие для m-ой темной полосы, находящейся на расстоянии $ x_m $ от вершины клина, будет:

$ 2nx_m\varphi = m\lambda $

Из этого выражения найдем координату m-ой темной полосы:

$ x_m = \frac{m\lambda}{2n\varphi} $

Ширина интерференционной полосы $ L $ — это расстояние между двумя соседними темными (или светлыми) полосами, например, m-ой и (m+1)-ой.

$ L = x_{m+1} - x_m = \frac{(m+1)\lambda}{2n\varphi} - \frac{m\lambda}{2n\varphi} = \frac{\lambda}{2n\varphi} $

Подставим числовые значения в полученную формулу:

$ L = \frac{6 \cdot 10^{-7} \text{ м}}{2 \cdot 1,46 \cdot 2,424 \cdot 10^{-5} \text{ рад}} $

$ L = \frac{6 \cdot 10^{-7}}{7,078 \cdot 10^{-5}} \text{ м} \approx 0,8477 \cdot 10^{-2} \text{ м} $

$ L \approx 8,48 \cdot 10^{-3} \text{ м} = 8,48 \text{ мм} $

Ответ: ширина интерференционных полос составляет приблизительно $ 8,48 \text{ мм} $.