Номер 8.48, страница 186 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Колебания и волны. Глава 8. Волновая оптика. Интерференция света - номер 8.48, страница 186.

Условие.

8.48*. На плоскопараллельную стеклянную пластинку положена выпуклой стороной плоско-выпуклая линза с радиусом кривизны 12 м (рис. 8.13). На плоскую поверхность линзы параллельно ее главной оптической оси падает монохроматический свет с длиной волны 600 нм. При этом в отражённом свете видны чередующиеся тёмные и светлые кольца (кольца Ньютона), а в центре — тёмное пятно. Определите радиус третьего тёмного кольца.

Рис. 8.13

Решение.

Дано

Радиус кривизны линзы: $R = 12$ м
Длина волны монохроматического света: $\lambda = 600$ нм
Порядок тёмного кольца: $k = 3$

Перевод в систему СИ:
$\lambda = 600 \cdot 10^{-9}$ м = $6 \cdot 10^{-7}$ м

Найти:

Радиус третьего тёмного кольца: $r_3$

Решение

Кольца Ньютона — это интерференционная картина, возникающая при отражении света от двух поверхностей: выпуклой поверхности линзы и плоской поверхности стеклянной пластинки. Между ними образуется воздушный зазор переменной толщины $\text{d}$.

Интерференционные минимумы (тёмные кольца) в отражённом свете наблюдаются при условии, что оптическая разность хода $\Delta$ между лучами, отражёнными от верхней и нижней границ воздушного зазора, равна полуцелому числу длин волн.

Луч, отражающийся от границы воздух-стекло (верхняя поверхность пластинки), претерпевает потерю полуволны (сдвиг фазы на $\pi$), что эквивалентно дополнительной разности хода $\lambda/2$. Луч, отражающийся от границы стекло-воздух (нижняя поверхность линзы), отражается без изменения фазы. Таким образом, общая оптическая разность хода равна:$\Delta = 2d + \frac{\lambda}{2}$

Условие для тёмных колец (деструктивная интерференция):$\Delta = (k + \frac{1}{2})\lambda$, где $k = 0, 1, 2, ...$ — порядок минимума.

Приравнивая два выражения для $\Delta$, получаем:$2d_k + \frac{\lambda}{2} = (k + \frac{1}{2})\lambda$$2d_k = k\lambda$

Для центрального тёмного пятна $k=0$ (так как $d=0$). Для третьего тёмного кольца, считая от центра, $k=3$. Следовательно, для него условие имеет вид:$2d_3 = 3\lambda$

Связь между толщиной воздушного зазора $d_k$ и радиусом кольца $r_k$ можно найти из геометрии. Рассмотрим сечение линзы. По теореме Пифагора для треугольника, образованного радиусом кривизны $\text{R}$, радиусом кольца $r_k$ и отрезком $(R-d_k)$:$R^2 = r_k^2 + (R - d_k)^2$$R^2 = r_k^2 + R^2 - 2Rd_k + d_k^2$$r_k^2 = 2Rd_k - d_k^2$

Так как радиус кривизны линзы очень велик по сравнению с толщиной воздушного зазора ($R \gg d_k$), слагаемым $d_k^2$ можно пренебречь. Тогда:$r_k^2 \approx 2Rd_k$Отсюда $d_k \approx \frac{r_k^2}{2R}$

Подставим это выражение для $d_3$ в условие минимума для третьего кольца:$2 \cdot \frac{r_3^2}{2R} = 3\lambda$$\frac{r_3^2}{R} = 3\lambda$

Отсюда выражаем радиус третьего тёмного кольца:$r_3^2 = 3\lambda R$$r_3 = \sqrt{3\lambda R}$

Подставим числовые значения из условия задачи:$r_3 = \sqrt{3 \cdot (6 \cdot 10^{-7} \text{ м}) \cdot (12 \text{ м})} = \sqrt{216 \cdot 10^{-7}} \text{ м} = \sqrt{21.6 \cdot 10^{-6}} \text{ м}$$r_3 \approx 4.648 \cdot 10^{-3} \text{ м}$

Переводя в миллиметры, получаем:$r_3 \approx 4.65 \text{ мм}$

Ответ: радиус третьего тёмного кольца равен приблизительно $4.65$ мм.