Номер 8.46, страница 186 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Колебания и волны. Глава 8. Волновая оптика. Интерференция света - номер 8.46, страница 186.

Условие.

8.46*. Для измерения толщины волоса его положили на стеклянную пластинку и сверху прикрыли другой пластинкой. Расстояние от волоса до линии соприкосновения пластинок, которой он параллелен, 20 см. Пластинки стали освещать красным светом ($\lambda = 750 \text{ нм}$). В отражённом свете на верхней пластинке наблюдали интерференционные полосы, причём было установлено, что на 1 см умещается 8 полос. Определите толщину волоса.

Решение.

Дано:

Расстояние от волоса до линии соприкосновения пластинок, $L = 20$ см
Длина волны красного света, $\lambda = 750$ нм
Количество интерференционных полос, $N = 8$
на длине, $l = 1$ см

$L = 20 \text{ см} = 0.2 \text{ м}$
$\lambda = 750 \text{ нм} = 750 \cdot 10^{-9} \text{ м} = 7.5 \cdot 10^{-7} \text{ м}$
$l = 1 \text{ см} = 0.01 \text{ м}$

Найти:

Толщину волоса, $\text{d}$

Решение:

Две стеклянные пластинки, между которыми находится волос, образуют воздушный клин. Интерференционная картина в отраженном свете в воздушном клине возникает в результате сложения волн, отраженных от нижней поверхности верхней пластинки и от верхней поверхности нижней пластинки. При отражении света от границы с оптически более плотной средой (в данном случае, от верхней поверхности нижней пластины) фаза волны меняется на $\pi$, что эквивалентно дополнительной разности хода в $\lambda/2$.

Условие для образования темных интерференционных полос (минимумов) в отраженном свете имеет вид:$2h_m = m\lambda$где $h_m$ — толщина воздушного зазора в месте расположения $\text{m}$-й темной полосы, $\text{m}$ — порядок интерференции (целое число, $m=0, 1, 2, ...$), $\lambda$ — длина волны света.

Расстояние между двумя соседними темными полосами (ширина интерференционной полосы) $\Delta x$ соответствует изменению толщины клина $\Delta h$ на величину $\lambda/2$.Из условия задачи, на длине $\text{l}$ умещается $\text{N}$ полос, следовательно, ширина одной полосы равна:$\Delta x = \frac{l}{N}$

Пусть $\alpha$ — угол воздушного клина. Для малых углов $\tan(\alpha) \approx \alpha$. Связь между толщиной клина $\text{h}$ и расстоянием $\text{x}$ от линии соприкосновения пластин можно записать как:$h = x \tan(\alpha) \approx x\alpha$

Тогда изменение толщины $\Delta h$ на расстоянии $\Delta x$ равно:$\Delta h = \Delta x \cdot \alpha$

Приравнивая два выражения для $\Delta h$, получаем:$\Delta x \cdot \alpha = \frac{\lambda}{2}$Отсюда можно выразить угол клина, подставив выражение для $\Delta x$:$\alpha = \frac{\lambda}{2\Delta x} = \frac{\lambda N}{2l}$

Толщина волоса $\text{d}$ равна толщине воздушного зазора на расстоянии $\text{L}$ от линии соприкосновения пластин:$d = L \tan(\alpha) \approx L\alpha$Подставим найденное выражение для угла $\alpha$:$d = L \frac{\lambda N}{2l}$

Подставим числовые значения в систему СИ и произведем вычисления:$d = 0.2 \text{ м} \cdot \frac{7.5 \cdot 10^{-7} \text{ м} \cdot 8}{2 \cdot 0.01 \text{ м}}$$d = \frac{0.2 \cdot 7.5 \cdot 8 \cdot 10^{-7}}{0.02} \text{ м}$$d = \frac{12 \cdot 10^{-7}}{0.02} \text{ м} = 600 \cdot 10^{-7} \text{ м} = 60 \cdot 10^{-6} \text{ м}$$d = 60 \text{ мкм}$

Ответ: толщина волоса равна $\text{60}$ мкм.