Номер 8.39, страница 185 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Колебания и волны. Глава 8. Волновая оптика. Интерференция света - номер 8.39, страница 185.

Условие.

8.39*. На поверхность стеклянной пластинки нанесена тонкая плёнка толщиной 180 нм. На плёнку нормально падает свет с длиной волны 504 нм. При каком значении показателя преломления плёнки будет наблюдаться максимальное отражение света?

Решение.

Дано:

Толщина плёнки, $d = 180 \text{ нм}$

Длина волны падающего света, $\lambda = 504 \text{ нм}$

Показатель преломления воздуха, $n_{воздуха} \approx 1$

Свет падает на плёнку нормально (перпендикулярно поверхности).

Перевод в систему СИ:

$d = 180 \cdot 10^{-9} \text{ м}$

$\lambda = 504 \cdot 10^{-9} \text{ м}$

Найти:

Показатель преломления плёнки $\text{n}$, при котором будет наблюдаться максимальное отражение света.

Решение:

Максимальное отражение света от тонкой плёнки наблюдается, когда световые волны, отражённые от её передней (воздух-плёнка) и задней (плёнка-стекло) поверхностей, интерферируют конструктивно (усиливают друг друга).

Оптическая разность хода $\Delta$ между этими двумя волнами складывается из двух частей:

1. Разность хода, обусловленная прохождением светом дополнительного расстояния в плёнке. При нормальном падении этот путь равен удвоенной толщине плёнки $\text{2d}$. Оптическая длина этого пути равна $2dn$.
2. Дополнительная разность хода, возникающая из-за изменения фазы волны при отражении. Фаза волны меняется на $\pi$ (что эквивалентно добавлению $\lambda/2$ к оптическому пути), если отражение происходит от оптически более плотной среды (среды с большим показателем преломления).

Рассмотрим отражения на границах:

• Граница воздух-плёнка: Поскольку любая плёнка имеет показатель преломления $n > n_{воздуха} = 1$, при отражении от этой поверхности фаза волны всегда меняется на $\pi$.
• Граница плёнка-стекло: Здесь возможны два случая, так как показатель преломления стекла $n_{стекла}$ не задан.

Случай 1: Показатель преломления плёнки меньше показателя преломления стекла ($n < n_{стекла}$).

В этом случае отражение на границе плёнка-стекло также происходит от оптически более плотной среды, и фаза второй отражённой волны тоже меняется на $\pi$. Так как обе волны получают одинаковый сдвиг фазы, дополнительная разность хода из-за отражений равна нулю.

Условие конструктивной интерференции (максимума): оптическая разность хода должна быть равна целому числу длин волн.

$2dn = m\lambda$, где $m = 1, 2, 3, \ldots$

Выразим $\text{n}$:

$n = \frac{m\lambda}{2d}$

Подставим числовые значения:

$n = \frac{m \cdot 504 \text{ нм}}{2 \cdot 180 \text{ нм}} = \frac{m \cdot 504}{360} = 1.4m$

Поскольку $n > 1$, наименьшее возможное значение $m=1$.

При $m=1$, $n = 1.4$. Это значение удовлетворяет условию $n < n_{стекла}$, так как показатель преломления обычного стекла около 1.5.

Случай 2: Показатель преломления плёнки больше показателя преломления стекла ($n > n_{стекла}$).

В этом случае отражение на границе плёнка-стекло происходит от оптически менее плотной среды, и сдвига фазы не происходит. Первая волна (отражённая от границы воздух-плёнка) имеет сдвиг фазы $\pi$, а вторая — нет. Таким образом, из-за отражений возникает дополнительная разность хода, равная $\lambda/2$.

Условие конструктивной интерференции (максимума) в этом случае будет:

$2dn + \frac{\lambda}{2} = m\lambda$

$2dn = (m - \frac{1}{2})\lambda$, где $m = 1, 2, 3, \ldots$

Или, что то же самое, $2dn = (k + \frac{1}{2})\lambda$, где $k = 0, 1, 2, \ldots$

Выразим $\text{n}$:

$n = \frac{(k + \frac{1}{2})\lambda}{2d}$

Подставим числовые значения:

$n = \frac{(k + 0.5) \cdot 504 \text{ нм}}{2 \cdot 180 \text{ нм}} = (k + 0.5) \cdot 1.4$

Рассмотрим возможные значения для $\text{k}$:

• При $k=0$, $n = 0.5 \cdot 1.4 = 0.7$. Это значение нефизично, так как $\text{n}$ не может быть меньше 1.
• При $k=1$, $n = 1.5 \cdot 1.4 = 2.1$. Это значение удовлетворяет условию $n > n_{стекла}$, так как $2.1 > 1.5$.

Мы получили два возможных физически осмысленных ответа: $n=1.4$ и $n=2.1$. В условии задачи сказано "максимальное отражение". Интенсивность отражённого света тем больше, чем больше разница в показателях преломления на границах раздела сред. Сравним оба случая, приняв $n_{стекла} \approx 1.5$:

• Для $n=1.4$: разницы составляют $1.4 - 1 = 0.4$ и $1.5 - 1.4 = 0.1$.
• Для $n=2.1$: разницы составляют $2.1 - 1 = 1.1$ и $2.1 - 1.5 = 0.6$.

Очевидно, что при $n=2.1$ отражение от обеих поверхностей будет значительно интенсивнее, что приведёт к более сильному общему отражению. Поэтому значение $n=2.1$ лучше соответствует условию задачи о "максимальном отражении".

Ответ: $2.1$