Номер 8.36, страница 185 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Колебания и волны. Глава 8. Волновая оптика. Интерференция света - номер 8.36, страница 185.

Условие.

8.36*. На поверхность плёнки, находящейся в воздухе, падает белый свет под углом 30°. Какого цвета будет плёнка в отражённом свете, если толщина плёнки 0,1 мкм, а показатель преломления 1,3?

Решение.

Дано:

Угол падения света, $\alpha = 30^\circ$

Толщина плёнки, $d = 0,1 \text{ мкм}$

Показатель преломления плёнки, $n = 1,3$

Показатель преломления воздуха, $n_{возд} \approx 1$

Перевод в систему СИ:

$d = 0,1 \text{ мкм} = 0,1 \cdot 10^{-6} \text{ м} = 10^{-7} \text{ м}$

Найти:

Цвет плёнки в отражённом свете.

Решение:

Цвет плёнки в отражённом свете определяется условием интерференционного максимума для волн, отражённых от её передней и задней поверхностей. Оптическая разность хода $\Delta$ между этими двумя лучами зависит от толщины плёнки $\text{d}$, её показателя преломления $\text{n}$ и угла преломления света в плёнке $\beta$.

При отражении света от верхней поверхности плёнки (граница воздух-плёнка) происходит переход из оптически менее плотной среды в более плотную ($n > n_{возд}$), поэтому фаза волны меняется на $\pi$, что эквивалентно потере полуволны ($\lambda/2$). При отражении от нижней поверхности (граница плёнка-воздух) перехода из более плотной среды в менее плотную ($n_{возд} < n$) не происходит изменения фазы.

С учётом этого, условие максимума для отражённого света (конструктивной интерференции) имеет вид:

$\Delta = 2nd \cos\beta = (k + \frac{1}{2})\lambda$, где $k = 0, 1, 2, ...$ - порядок максимума, а $\lambda$ - длина волны света в вакууме.

Угол преломления $\beta$ найдём из закона Снеллиуса:

$n_{возд} \sin\alpha = n \sin\beta$

$1 \cdot \sin 30^{\circ} = 1,3 \cdot \sin\beta$

$\sin\beta = \frac{\sin 30^{\circ}}{1,3} = \frac{0,5}{1,3}$

Для нахождения $\cos\beta$ воспользуемся основным тригонометрическим тождеством $\sin^2\beta + \cos^2\beta = 1$:

$\cos\beta = \sqrt{1 - \sin^2\beta} = \sqrt{1 - (\frac{0,5}{1,3})^2} = \sqrt{1 - \frac{0,25}{1,69}} = \sqrt{\frac{1,69 - 0,25}{1,69}} = \sqrt{\frac{1,44}{1,69}} = \frac{1,2}{1,3}$

Теперь выразим длину волны $\lambda$ из условия максимума:

$\lambda = \frac{2nd \cos\beta}{k + \frac{1}{2}}$

Подставим известные значения:

$\lambda = \frac{2 \cdot 1,3 \cdot 10^{-7} \text{ м} \cdot \frac{1,2}{1,3}}{k + \frac{1}{2}} = \frac{2 \cdot 10^{-7} \cdot 1,2}{k + \frac{1}{2}} = \frac{2,4 \cdot 10^{-7} \text{ м}}{k + \frac{1}{2}} = \frac{240 \text{ нм}}{k + \frac{1}{2}}$

Определим, какие длины волн из видимого диапазона (примерно от 400 нм до 750 нм) будут усиливаться. Для этого будем подставлять целые неотрицательные значения $\text{k}$.

При $k=0$:

$\lambda_0 = \frac{240 \text{ нм}}{0 + 0,5} = \frac{240 \text{ нм}}{0,5} = 480 \text{ нм}$

Эта длина волны находится в видимой части спектра и соответствует сине-зелёному (голубому) цвету.

При $k=1$:

$\lambda_1 = \frac{240 \text{ нм}}{1 + 0,5} = \frac{240 \text{ нм}}{1,5} = 160 \text{ нм}$

Эта длина волны находится в ультрафиолетовой области и невидима для глаза.

При больших значениях $\text{k}$ длины волн будут ещё короче, также не попадая в видимый диапазон. Таким образом, в отражённом свете будет наблюдаться усиление только одной длины волны из видимого спектра.

Ответ: Плёнка в отражённом свете будет казаться сине-зелёной (голубой), так как будет усиливаться свет с длиной волны 480 нм.