Номер 8.40, страница 185 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Колебания и волны. Глава 8. Волновая оптика. Интерференция света - номер 8.40, страница 185.

Условие.

8.40.На поверхность пластинки из стекла с показателем преломления 1,65 нанесена плёнка толщиной 110 нм с показателем преломления 1,55. Для какой длины волны видимого света плёнка будет «просветляющей»?

Решение.

Дано:

Показатель преломления стекла, $n_{ст} = 1.65$

Показатель преломления плёнки, $n_{пл} = 1.55$

Толщина плёнки, $d = 110 \text{ нм}$

Найти:

Длину волны видимого света $\lambda$

Решение:

Эффект «просветления» оптики основан на явлении интерференции света в тонких плёнках. Для того чтобы плёнка была «просветляющей», то есть максимально уменьшала отражение света, необходимо, чтобы световые волны, отражённые от двух её поверхностей (внешней и внутренней), при наложении гасили друг друга. Это условие соответствует минимуму интерференционной картины, или деструктивной интерференции. Будем считать, что свет падает на плёнку перпендикулярно её поверхности.

Рассмотрим два луча: луч 1, отражённый от передней поверхности плёнки (граница воздух-плёнка), и луч 2, отражённый от задней поверхности плёнки (граница плёнка-стекло).

При отражении света от границы со средой с большим показателем преломления (оптически более плотной средой) фаза отражённой волны изменяется на $\pi$.

1. На границе воздух-плёнка показатель преломления плёнки ($n_{пл} = 1.55$) больше показателя преломления воздуха ($n_{возд} \approx 1$), поэтому фаза луча 1 при отражении меняется на $\pi$.

2. На границе плёнка-стекло показатель преломления стекла ($n_{ст} = 1.65$) больше показателя преломления плёнки ($n_{пл} = 1.55$), поэтому фаза луча 2 при отражении также меняется на $\pi$.

Так как оба отражённых луча испытывают одинаковый сдвиг фазы на $\pi$, этот сдвиг не вносит вклада в итоговую разность фаз между ними. Разность фаз будет определяться только оптической разностью хода лучей.

Оптическая разность хода $\Delta$ для луча 2, который проходит плёнку толщиной $\text{d}$ дважды (вниз и вверх), равна:

$\Delta = 2dn_{пл}$

Условием деструктивной интерференции (минимума отражения) является равенство оптической разности хода нечётному числу полуволн:

$\Delta = (2m+1)\frac{\lambda}{2}$, где $m = 0, 1, 2, ...$

Приравнивая два выражения для $\Delta$, получаем условие для «просветления»:

$2dn_{пл} = (2m+1)\frac{\lambda}{2}$

Выразим отсюда длину волны $\lambda$:

$\lambda = \frac{4dn_{пл}}{2m+1}$

Подставим известные значения:

$\lambda = \frac{4 \cdot 110 \text{ нм} \cdot 1.55}{2m+1} = \frac{682}{2m+1} \text{ нм}$

Теперь определим, при каком значении $\text{m}$ длина волны $\lambda$ попадёт в диапазон видимого света (приблизительно от 400 нм до 750 нм).

При $m = 0$:

$\lambda = \frac{682}{2 \cdot 0 + 1} = 682 \text{ нм}$

Это значение находится в видимом диапазоне (красный свет).

При $m = 1$:

$\lambda = \frac{682}{2 \cdot 1 + 1} = \frac{682}{3} \approx 227,3 \text{ нм}$

Это значение находится в ультрафиолетовом диапазоне и не является видимым светом.

При больших значениях $\text{m}$ длина волны будет ещё меньше.

Следовательно, единственная длина волны в видимом спектре, для которой плёнка будет «просветляющей», составляет 682 нм.

Ответ: 682 нм.