Номер 8.41, страница 185 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Колебания и волны. Глава 8. Волновая оптика. Интерференция света - номер 8.41, страница 185.

Условие.

8.41. Какую наименьшую толщину должна иметь пластинка, сделанная из материала с показателем преломления 1,54, чтобы при нормальном освещении красным светом с длиной волны 750 нм она в отражённом свете казалась:

а) красной;

б) чёрной?

Решение.

Дано:

Показатель преломления пластинки, $n = 1,54$

Длина волны красного света, $\lambda = 750 \text{ нм}$

Перевод в систему СИ:

$\lambda = 750 \times 10^{-9} \text{ м}$

Найти:

Наименьшую толщину пластинки $d_{min}$ для случаев:

а) пластинка кажется красной;

б) пластинка кажется чёрной.

Решение:

Явление, которое объясняет цвет тонких плёнок в отражённом свете, — это интерференция света. В данном случае свет падает нормально на пластинку, находящуюся в воздухе (показатель преломления воздуха $n_{воздуха} \approx 1$).

Наблюдаемый цвет определяется результатом интерференции двух лучей: луча, отражённого от передней поверхности пластинки (граница воздух-пластинка), и луча, отражённого от задней поверхности пластинки (граница пластинка-воздух).

1. Луч, отражаясь от передней поверхности (от границы с оптически более плотной средой, так как $n > n_{воздуха}$), меняет свою фазу на $\pi$, что эквивалентно потере полуволны ($\lambda/2$).

2. Луч, прошедший сквозь пластинку и отразившийся от задней поверхности (от границы с оптически менее плотной средой, так как $n > n_{воздуха}$), не меняет своей фазы при отражении.

Оптическая разность хода $\Delta$ для второго луча, который прошел толщину пластинки $\text{d}$ дважды (туда и обратно), составляет $\Delta = 2nd$.

а) Пластинка кажется красной (усиление света)

Чтобы пластинка в отраженном свете казалась красной, отражённые световые волны должны интерферировать конструктивно, то есть усиливать друг друга. Условие максимума (конструктивной интерференции) для двух лучей, один из которых потерял половину длины волны при отражении, выглядит так:

$\Delta = 2nd = (m + \frac{1}{2})\lambda$, где $m = 0, 1, 2, ...$

Нам нужно найти наименьшую толщину $d_{min}$, которая соответствует минимальному целому неотрицательному значению $\text{m}$, то есть $m=0$.

$2nd_{min} = (0 + \frac{1}{2})\lambda = \frac{\lambda}{2}$

$d_{min} = \frac{\lambda}{4n}$

Подставим числовые значения:

$d_{min} = \frac{750 \times 10^{-9} \text{ м}}{4 \cdot 1,54} = \frac{750}{6,16} \times 10^{-9} \text{ м} \approx 121,75 \times 10^{-9} \text{ м} \approx 122 \text{ нм}$

Ответ: наименьшая толщина, при которой пластинка кажется красной, составляет примерно 122 нм.

б) Пластинка кажется чёрной (ослабление света)

Чтобы пластинка казалась чёрной, отражённые световые волны должны интерферировать деструктивно, то есть гасить друг друга. Условие минимума (деструктивной интерференции) с учётом потери полуволны одним из лучей имеет вид:

$\Delta = 2nd = m\lambda$, где $m = 1, 2, 3, ...$

Наименьшая ненулевая толщина $d_{min}$ соответствует минимальному натуральному значению $\text{m}$, то есть $m=1$ (при $m=0$ толщина равна нулю, что не является пластинкой).

$2nd_{min} = 1 \cdot \lambda$

$d_{min} = \frac{\lambda}{2n}$

Подставим числовые значения:

$d_{min} = \frac{750 \times 10^{-9} \text{ м}}{2 \cdot 1,54} = \frac{750}{3,08} \times 10^{-9} \text{ м} \approx 243,5 \times 10^{-9} \text{ м} \approx 244 \text{ нм}$

Ответ: наименьшая толщина, при которой пластинка кажется чёрной, составляет примерно 244 нм.