Номер 8.37, страница 185 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Колебания и волны. Глава 8. Волновая оптика. Интерференция света - номер 8.37, страница 185.

Условие.

8.37*. На мыльную плёнку ($n = 1,33$) падает белый свет под углом $45^{\circ}$. При какой наименьшей толщине плёнки её поверхность, наблюдаемая в отражённом свете, будет окрашена в жёлтый цвет ($\lambda = 600 \text{ нм}$)?

Решение.

Дано:

Показатель преломления мыльной пленки, $n = 1,33$
Угол падения света, $\alpha = 45°$
Длина волны жёлтого света, $λ = 600$ нм

Перевод в систему СИ:
$λ = 600 \cdot 10^{-9}$ м

Найти:

Наименьшую толщину плёнки, $d_{min}$

Решение:

Когда белый свет падает на тонкую мыльную плёнку, свет отражается от её передней и задней поверхностей. Эти два отражённых луча интерферируют между собой. Условие усиления (максимума) или ослабления (минимума) света зависит от разности хода лучей.

Оптическая разность хода $Δ$ для лучей, отраженных от двух поверхностей плёнки, определяется по формуле:$Δ = 2dn \cos{β}$, где $\text{d}$ — толщина плёнки, $\text{n}$ — её показатель преломления, а $β$ — угол преломления света в плёнке.

При отражении света от верхней поверхности плёнки (граница воздух-плёнка) происходит потеря полуволны, так как свет отражается от оптически более плотной среды ($n > n_{воздуха} \approx 1$). Это эквивалентно дополнительной разности хода в $\frac{λ}{2}$. При отражении от нижней поверхности (граница плёнка-воздух) потери полуволны не происходит, так как свет отражается от оптически менее плотной среды.

Следовательно, условие для максимального усиления света (конструктивной интерференции) в отражённом свете имеет вид:$2dn \cos{β} = (m + \frac{1}{2})λ$, где $m = 0, 1, 2, ...$ — порядок интерференционного максимума.

Чтобы найти наименьшую толщину плёнки $d_{min}$, при которой наблюдается максимум для жёлтого света, нужно взять наименьшее возможное значение $\text{m}$, то есть $m = 0$.Тогда условие принимает вид:$2d_{min}n \cos{β} = \frac{1}{2}λ$Отсюда наименьшая толщина плёнки:$d_{min} = \frac{λ}{4n \cos{β}}$

Угол преломления $β$ можно найти из закона Снеллиуса:$n_1 \sin{\alpha} = n_2 \sin{β}$, где $n_1$ — показатель преломления воздуха ($n_1 \approx 1$), а $n_2 = n$.$1 \cdot \sin{\alpha} = n \sin{β}$$\sin{β} = \frac{\sin{\alpha}}{n} = \frac{\sin{45°}}{1,33} = \frac{\sqrt{2}/2}{1,33} \approx \frac{0,7071}{1,33} \approx 0,5317$

Теперь найдём косинус угла преломления, используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2{β} + \cos^2{β} = 1$:$\cos{β} = \sqrt{1 - \sin^2{β}} = \sqrt{1 - (0,5317)^2} = \sqrt{1 - 0,2827} = \sqrt{0,7173} \approx 0,8469$

Подставим все известные значения в формулу для $d_{min}$:$d_{min} = \frac{600 \cdot 10^{-9} \text{ м}}{4 \cdot 1,33 \cdot 0,8469} \approx \frac{600 \cdot 10^{-9}}{4,505} \approx 133,2 \cdot 10^{-9}$ м.

Переведём результат в нанометры: $133,2$ нм.

Ответ: Наименьшая толщина плёнки, при которой она будет казаться жёлтой в отражённом свете, составляет примерно $133,2$ нм.