Номер 8.30, страница 184 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Колебания и волны. Глава 8. Волновая оптика. Интерференция света - номер 8.30, страница 184.

Условие.

8.30*. Для уменьшения потерь света на отражение в оптических приборах широко применяется «просветление оптики» (метод разработан академиками И. В. Гребенщиковым, А. А. Лебедевым и А. Н. Терениным): поверхность стекла покрывают тонкой прозрачной плёнкой, показатель преломления которой меньше показателя преломления стекла, а толщина равна четверти длины волны падающего света (рис. 8.12). При нормальном падении интенсивность света, отражённого от такого стекла, равна нулю — весь свет проходит сквозь стекло. Почему это происходит? Почему толщина плёнки должна быть равна четверти длины волны падающего света? Почему показатель преломления плёнки должен быть меньше показателя преломления стекла?

Рис. 8.12

Решение.

Почему это происходит?

Это явление, называемое просветлением оптики, основано на принципе интерференции световых волн. Когда свет падает на стекло, покрытое тонкой плёнкой, отражение происходит от двух поверхностей: от верхней поверхности плёнки (граница воздух-плёнка) и от нижней поверхности плёнки (граница плёнка-стекло). В результате образуются два отражённых когерентных луча. Эти лучи, распространяясь в одном направлении, накладываются друг на друга и интерферируют. При определённых условиях (толщине плёнки и соотношении показателей преломления) эти две волны оказываются в противофазе. Это приводит к их взаимному гашению (деструктивной интерференции). В результате интенсивность отражённого света стремится к нулю, и почти весь свет проходит сквозь стекло, что и является целью просветления. Энергия света не исчезает, а перераспределяется: уменьшение отражённой энергии приводит к увеличению прошедшей.

Ответ: Явление объясняется деструктивной интерференцией двух световых волн, отражённых от передней и задней поверхностей тонкой плёнки, что приводит к гашению отражённого света.

Почему толщина плёнки должна быть равна четверти длины волны падающего света?

Для того чтобы две отражённые волны погасили друг друга, разность их фаз должна быть равна нечётному числу $π$, то есть $δ = (2m+1)π$, где $m=0, 1, 2, ...$. Разность фаз складывается из двух частей: разности фаз, возникающей из-за разности оптического пути, и разности фаз, приобретаемой при отражении от границ сред.
1. Фазовый сдвиг при отражении. При отражении света от среды с большим показателем преломления фаза волны меняется на $π$. В данном случае свет из воздуха ($n_{возд} \approx 1$) падает на плёнку ($n_{пл}$), а затем на стекло ($n_{ст}$), причём выполняется условие $n_{возд} < n_{пл} < n_{ст}$. Первая волна отражается от границы воздух-плёнка ($n_{пл} > n_{возд}$), поэтому её фаза сдвигается на $π$. Вторая волна проходит плёнку и отражается от границы плёнка-стекло ($n_{ст} > n_{пл}$), поэтому её фаза также сдвигается на $π$. Поскольку обе волны получают одинаковый фазовый сдвиг $π$ при отражении, эти сдвиги не вносят вклада в итоговую разность фаз.
2. Оптическая разность хода. Вторая волна, в отличие от первой, проходит дополнительное расстояние, равное удвоенной толщине плёнки $\text{2d}$ (вниз и вверх). Оптическая разность хода при нормальном падении света равна $Δ = 2d \cdot n_{пл}$.
Таким образом, для деструктивной интерференции (гашения) необходимо, чтобы оптическая разность хода была равна нечётному числу полуволн: $Δ = (m + 1/2)λ$, где $λ$ — длина волны в вакууме. Для самой тонкой плёнки (что наиболее практично) выбирают $m=0$.
$2d \cdot n_{пл} = \frac{λ}{2}$
Отсюда находим толщину плёнки:
$d = \frac{λ}{4n_{пл}}$
Длина волны света в плёнке равна $λ_{пл} = \frac{λ}{n_{пл}}$. Подставляя это в формулу для толщины, получаем:
$d = \frac{λ_{пл}}{4}$
Таким образом, толщина плёнки должна быть равна одной четверти длины волны света в самой плёнке. Фраза "четверти длины волны падающего света" является некоторым упрощением.

Ответ: Такая толщина обеспечивает оптическую разность хода в половину длины волны для луча, прошедшего сквозь плёнку туда и обратно. Учитывая, что фазовые сдвиги при отражении от обеих поверхностей одинаковы, такая разность хода приводит к тому, что отражённые волны оказываются в противофазе и гасят друг друга.

Почему показатель преломления плёнки должен быть меньше показателя преломления стекла?

Это условие ($n_{пл} < n_{ст}$) необходимо по двум причинам.
1. Обеспечение правильных фазовых соотношений. Как было показано выше, при условии $n_{возд} < n_{пл} < n_{ст}$ обе отражённые волны (от верхней и нижней границ плёнки) испытывают одинаковый скачок фазы на $π$. Это позволяет добиться гашения за счёт оптической разности хода, равной половине длины волны ($2d \cdot n_{пл} = λ/2$). Если бы было $n_{пл} > n_{ст}$, то при отражении от границы плёнка-стекло скачка фазы бы не было. Тогда суммарная разность фаз между двумя отражёнными волнами составила бы $π$ (от первого отражения) + $π$ (от разности хода) = $2π$. Это условие соответствовало бы конструктивной интерференции (усилению света), а не гашению.
2. Равенство амплитуд отражённых волн. Для полного взаимного гашения волн необходимо, чтобы их амплитуды были равны. Амплитуда отражённой волны зависит от показателей преломления сред на границе раздела. Для нормального падения света амплитуды двух отражённых лучей (от границы воздух-плёнка и плёнка-стекло) будут равны при выполнении условия:
$n_{пл} = \sqrt{n_{возд} \cdot n_{ст}}$
Поскольку показатель преломления воздуха $n_{возд} \approx 1$, то оптимальное значение показателя преломления плёнки равно:
$n_{пл} = \sqrt{n_{ст}}$
Так как для любого стекла $n_{ст} > 1$, то всегда будет выполняться $\sqrt{n_{ст}} < n_{ст}$. Например, для стекла с $n_{ст} = 1.5$ оптимальное значение $n_{пл} = \sqrt{1.5} \approx 1.22$, что меньше 1.5. Таким образом, условие $n_{пл} < n_{ст}$ является необходимым для достижения максимально эффективного просветления.

Ответ: Это условие, во-первых, обеспечивает одинаковый фазовый сдвиг ($π$) для волн, отраженных от обеих поверхностей плёнки, что необходимо для их последующего гашения. Во-вторых, для полного гашения отражённого света требуется равенство амплитуд интерферирующих волн, что достигается при $n_{пл} = \sqrt{n_{ст}}$, а это условие как раз и подразумевает, что $n_{пл} < n_{ст}$.