Номер 8.25, страница 183 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Колебания и волны. Глава 8. Волновая оптика. Интерференция света - номер 8.25, страница 183.

Условие.

8.25* На поверхность тонкой плёнки, находящейся в воздухе (рис. 8.9), падает плоская монохроматическая волна под углом $\alpha$. Какова оптическая разность хода когерентных волн, образовавшихся в результате отражения от поверхностей плёнки, если толщина плёнки $\text{d}$, а показатель преломления $\text{n}$?

Рис. 8.9

Решение.

Дано:

Угол падения плоской монохроматической волны: $α$

Толщина плёнки: $\text{d}$

Показатель преломления плёнки: $\text{n}$

Плёнка находится в воздухе, показатель преломления которого принимаем за $n_0 = 1$

Найти:

Оптическую разность хода $Δ$

Решение:

Оптическая разность хода $Δ$ возникает между двумя когерентными волнами: волной 1', отражённой от верхней поверхности плёнки в точке O, и волной 1'', которая преломляется в плёнку, отражается от её нижней поверхности в точке A и выходит обратно в воздух в точке B.

Разность хода можно вычислить как разницу оптических длин путей этих двух волн. Оптическая длина пути – это произведение геометрической длины пути на показатель преломления среды.

Оптический путь волны, прошедшей через плёнку (путь OAB), равен $L_{OAB} = n \cdot (OA + AB)$.

Для нахождения разности хода сравним этот путь с путём, который проходит первая волна в воздухе. Для этого опустим перпендикуляр из точки B на направление распространения луча 1' (в точку D, как показано на рисунке). Тогда искомая оптическая разность хода будет равна:

$Δ = L_{OAB} - L_{OD} = n \cdot (OA + AB) - OD$

Выразим длины отрезков, используя геометрию, показанную на рисунке. Пусть $γ$ - угол преломления.

Из прямоугольного треугольника OAC, где $AC = d$:

$OA = \frac{d}{\cos \gamma}$

Вследствие симметрии пути луча $OA = AB$, следовательно, $OA + AB = \frac{2d}{\cos \gamma}$.

Теперь найдём длину отрезка OD. Сначала определим длину OB:

$OC = d \cdot \tan \gamma$, а $OB = OC + CB = 2 \cdot OC = 2d \cdot \tan \gamma$.

Угол отражения для луча 1' равен углу падения $α$. Угол между отражённым лучом 1' и поверхностью плёнки равен $90^\circ - \alpha$. В треугольнике ODB:

$OD = OB \cdot \cos(90^\circ - \alpha) = OB \cdot \sin \alpha$

Подставим выражение для OB:

$OD = 2d \cdot \tan \gamma \cdot \sin \alpha$

Теперь соберём все части в формулу для оптической разности хода:

$Δ = n \cdot \frac{2d}{\cos \gamma} - 2d \cdot \tan \gamma \cdot \sin \alpha$

Преобразуем выражение, вынеся общий множитель:

$Δ = \frac{2d}{\cos \gamma} (n - \cos \gamma \cdot \tan \gamma \cdot \sin \alpha) = \frac{2d}{\cos \gamma} (n - \sin \gamma \cdot \sin \alpha)$

Согласно закону преломления Снеллиуса, на границе воздух-плёнка: $1 \cdot \sin \alpha = n \cdot \sin \gamma$. Отсюда $\sin \alpha = n \sin \gamma$.

Подставим это в наше выражение для $Δ$:

$Δ = \frac{2d}{\cos \gamma} (n - \sin \gamma \cdot (n \sin \gamma)) = \frac{2dn}{\cos \gamma} (1 - \sin^2 \gamma)$

Используя основное тригонометрическое тождество $\cos^2 \gamma = 1 - \sin^2 \gamma$, получаем:

$Δ = \frac{2dn}{\cos \gamma} \cdot \cos^2 \gamma = 2dn \cos \gamma$

Это известная формула для разности хода в тонкой плёнке. Однако ответ нужно выразить через данные в условии задачи: $\text{d}$, $\text{n}$ и $α$. Для этого выразим $\cos \gamma$ через $α$.

Из закона Снеллиуса $\sin \gamma = \frac{\sin \alpha}{n}$. Тогда:

$\cos \gamma = \sqrt{1 - \sin^2 \gamma} = \sqrt{1 - \frac{\sin^2 \alpha}{n^2}} = \sqrt{\frac{n^2 - \sin^2 \alpha}{n^2}} = \frac{\sqrt{n^2 - \sin^2 \alpha}}{n}$

Подставим это выражение для $\cos \gamma$ в нашу формулу для $Δ$:

$Δ = 2dn \left( \frac{\sqrt{n^2 - \sin^2 \alpha}}{n} \right) = 2d \sqrt{n^2 - \sin^2 \alpha}$

Следует заметить, что при отражении от верхней границы (воздух $\rightarrow$ плёнка, $n>1$) происходит отражение от оптически более плотной среды, и фаза волны скачком меняется на $π$, что эквивалентно добавлению к оптическому пути $λ/2$. При отражении от нижней границы (плёнка $\rightarrow$ воздух) отражение происходит от оптически менее плотной среды, и фаза не меняется. Однако в задаче требуется найти именно "оптическую разность хода", под которой понимают величину, определяемую геометрией лучей и показателями преломления.

Ответ: $Δ = 2d \sqrt{n^2 - \sin^2 \alpha}$.