Номер 8.18, страница 182 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Колебания и волны. Глава 8. Волновая оптика. Интерференция света - номер 8.18, страница 182.

Условие.

8.18. В установке Юнга (см. рис. 8.7) расстояние между щелями $S_1$ и $S_2$ равно $\text{d}$. При увеличении $\text{d}$ вдвое определите, как изменится:

а) расстояние между интерференционными минимумами;

б) расстояние от нулевого максимума до максимума третьего порядка.

Расстояние от щелей до экрана остаётся неизменным.

Рис. 8.7

Решение.

Дано:

$d_1$ - начальное расстояние между щелями

$d_2 = 2d_1$ - конечное расстояние между щелями

$L = \text{const}$ - расстояние от щелей до экрана

$\lambda = \text{const}$ - длина волны света

Найти:

Как изменятся:

а) расстояние между интерференционными минимумами ($\Delta x_{min}$)?

б) расстояние от нулевого максимума до максимума третьего порядка ($x_3$)?

Решение:

В опыте Юнга положение интерференционных полос на экране определяется условиями максимума и минимума. Для малых углов дифракции, когда расстояние от щелей до экрана $\text{L}$ значительно больше расстояния между щелями $\text{d}$ и расстояния до полосы на экране $\text{x}$, координата $\text{x}$ для интерференционного минимума определяется формулой:

$x_{min, k} = \frac{(k + \frac{1}{2}) \lambda L}{d}$, где $\text{k}$ - порядок минимума (целое число $0, 1, 2, ...$).

Координата $\text{x}$ для интерференционного максимума определяется формулой:

$x_{max, k} = \frac{k \lambda L}{d}$, где $\text{k}$ - порядок максимума (целое число $0, 1, 2, ...$).

а) расстояние между интерференционными минимумами

Расстояние между двумя соседними интерференционными минимумами (ширина интерференционной полосы) равно разности их координат. Возьмем минимумы порядков $\text{k}$ и $k+1$.

$\Delta x_{min} = x_{min, k+1} - x_{min, k} = \frac{((k+1) + \frac{1}{2}) \lambda L}{d} - \frac{(k + \frac{1}{2}) \lambda L}{d} = \frac{(k + \frac{3}{2} - k - \frac{1}{2}) \lambda L}{d} = \frac{\lambda L}{d}$

Изначально, при расстоянии между щелями $d_1$, расстояние между минимумами было:

$\Delta x_1 = \frac{\lambda L}{d_1}$

После увеличения расстояния между щелями вдвое ($d_2 = 2d_1$), новое расстояние между минимумами стало:

$\Delta x_2 = \frac{\lambda L}{d_2} = \frac{\lambda L}{2d_1} = \frac{1}{2} \Delta x_1$

Следовательно, расстояние между интерференционными минимумами уменьшится в 2 раза.

Ответ: Расстояние между интерференционными минимумами уменьшится в 2 раза.

б) расстояние от нулевого максимума до максимума третьего порядка

Нулевой (центральный) максимум соответствует $k=0$. Его координата:

$x_{max, 0} = \frac{0 \cdot \lambda L}{d} = 0$

Максимум третьего порядка соответствует $k=3$. Его координата:

$x_{max, 3} = \frac{3 \lambda L}{d}$

Расстояние от нулевого максимума до максимума третьего порядка равно:

$X_3 = x_{max, 3} - x_{max, 0} = \frac{3 \lambda L}{d}$

Изначально, при расстоянии между щелями $d_1$, это расстояние было:

$X_{3,1} = \frac{3 \lambda L}{d_1}$

После увеличения расстояния между щелями вдвое ($d_2 = 2d_1$), новое расстояние стало:

$X_{3,2} = \frac{3 \lambda L}{d_2} = \frac{3 \lambda L}{2d_1} = \frac{1}{2} X_{3,1}$

Следовательно, расстояние от нулевого максимума до максимума третьего порядка также уменьшится в 2 раза.

Ответ: Расстояние от нулевого максимума до максимума третьего порядка уменьшится в 2 раза.