Номер 8.21, страница 183 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Колебания и волны. Глава 8. Волновая оптика. Интерференция света - номер 8.21, страница 183.

Условие.

8.21. В опыте Юнга отверстия освещались монохроматическим светом с длиной волны 600 нм. Расстояние между отверстиями 1 мм, расстояние от отверстий до экрана 3 м.

a) Найдите положения первых трёх светлых полос.

б) Во сколько раз изменится расстояние между соседними интерференционными полосами, если длина волны монохроматического света будет 500 нм?

Решение.

Дано:

$\lambda_1 = 600 \text{ нм} = 600 \cdot 10^{-9} \text{ м} = 6 \cdot 10^{-7} \text{ м}$

$d = 1 \text{ мм} = 1 \cdot 10^{-3} \text{ м}$

$L = 3 \text{ м}$

$\lambda_2 = 500 \text{ нм} = 500 \cdot 10^{-9} \text{ м} = 5 \cdot 10^{-7} \text{ м}$

Найти:

а) $y_0, y_1, y_2$ - положения первых трёх светлых полос

б) $\frac{\Delta y_1}{\Delta y_2}$ - во сколько раз изменится расстояние между соседними полосами

Решение:

а)

Положение светлых интерференционных полос (максимумов) в опыте Юнга определяется условием:

$\Delta r = d \sin \theta = m\lambda$

где $\Delta r$ – разность хода лучей от двух щелей, $\text{d}$ – расстояние между щелями, $\theta$ – угол, под которым наблюдается максимум, $\text{m}$ – порядок максимума ($m = 0, \pm 1, \pm 2, \dots$), $\lambda$ – длина волны.

Для малых углов $\sin \theta \approx \tan \theta = \frac{y}{L}$, где $\text{y}$ – координата максимума на экране, отсчитанная от центра, а $\text{L}$ – расстояние до экрана. Тогда формула для координаты $\text{m}$-го максимума имеет вид:

$y_m = m \frac{\lambda L}{d}$

Найдем положения первых трёх светлых полос, которые соответствуют порядкам $m = 0, 1, 2$.

Для центральной светлой полосы ($m = 0$):

$y_0 = 0 \cdot \frac{\lambda_1 L}{d} = 0 \text{ м}$

Для первой светлой полосы ($m = 1$):

$y_1 = 1 \cdot \frac{\lambda_1 L}{d} = \frac{6 \cdot 10^{-7} \text{ м} \cdot 3 \text{ м}}{1 \cdot 10^{-3} \text{ м}} = 18 \cdot 10^{-4} \text{ м} = 1.8 \cdot 10^{-3} \text{ м} = 1.8 \text{ мм}$

Для второй светлой полосы ($m = 2$):

$y_2 = 2 \cdot \frac{\lambda_1 L}{d} = 2 \cdot 1.8 \text{ мм} = 3.6 \text{ мм}$

Ответ: Положения первых трёх светлых полос, отсчитываемые от центра интерференционной картины, равны 0 мм, 1.8 мм и 3.6 мм.

б)

Расстояние между двумя соседними светлыми полосами (ширина интерференционной полосы) равно:

$\Delta y = y_{m+1} - y_m = (m+1)\frac{\lambda L}{d} - m\frac{\lambda L}{d} = \frac{\lambda L}{d}$

В первом случае, при $\lambda_1 = 600$ нм, расстояние между полосами было:

$\Delta y_1 = \frac{\lambda_1 L}{d} = \frac{6 \cdot 10^{-7} \text{ м} \cdot 3 \text{ м}}{1 \cdot 10^{-3} \text{ м}} = 1.8 \cdot 10^{-3} \text{ м} = 1.8 \text{ мм}$

Во втором случае, при $\lambda_2 = 500$ нм, расстояние между полосами станет:

$\Delta y_2 = \frac{\lambda_2 L}{d} = \frac{5 \cdot 10^{-7} \text{ м} \cdot 3 \text{ м}}{1 \cdot 10^{-3} \text{ м}} = 1.5 \cdot 10^{-3} \text{ м} = 1.5 \text{ мм}$

Чтобы найти, во сколько раз изменилось расстояние, найдем отношение $\Delta y_1$ к $\Delta y_2$:

$\frac{\Delta y_1}{\Delta y_2} = \frac{\frac{\lambda_1 L}{d}}{\frac{\lambda_2 L}{d}} = \frac{\lambda_1}{\lambda_2} = \frac{600 \text{ нм}}{500 \text{ нм}} = \frac{6}{5} = 1.2$

Так как отношение больше единицы ($\Delta y_1 > \Delta y_2$), расстояние между полосами уменьшится.

Ответ: Расстояние между соседними интерференционными полосами уменьшится в 1.2 раза.