Номер 8.47, страница 186 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Колебания и волны. Глава 8. Волновая оптика. Интерференция света - номер 8.47, страница 186.

Условие.

8.47*. На стеклянный клин падает нормально пучок света ($ \lambda = 582 \text{ нм} $). Угол клина равен $ 20'' $. Какое число тёмных интерференционных полос приходится на единицу длины клина? Показатель преломления стекла $ 1,5 $.

Решение.

Дано:

Длина волны света, $ \lambda = 582 \text{ нм} = 582 \cdot 10^{-9} \text{ м} $
Угол клина, $ \alpha = 20'' $ (двадцать угловых секунд)
Показатель преломления стекла, $ n = 1,5 $

Переведем угол клина в радианы:
$ \alpha = 20'' = 20 \cdot \frac{1}{3600} \text{ градуса} = \frac{1}{180} \text{ градуса} $
$ \alpha = \frac{1}{180} \cdot \frac{\pi}{180} \text{ рад} = \frac{\pi}{32400} \text{ рад} \approx 9,7 \cdot 10^{-5} \text{ рад} $

Найти:

Число тёмных интерференционных полос на единицу длины клина, $ N/L $.

Решение:

При падении света на стеклянный клин происходит интерференция лучей, отраженных от его верхней и нижней поверхностей. Оптическая разность хода $ \Delta $ для лучей, отраженных от поверхностей клина в точке с толщиной $ d $, при нормальном падении света определяется по формуле:$ \Delta = 2dn + \frac{\lambda}{2} $Здесь $ 2dn $ — это разность хода, возникающая из-за прохождения света сквозь клин толщиной $ d $ с показателем преломления $ n $. Добавочное слагаемое $ \lambda/2 $ появляется из-за потери полуволны при отражении света от оптически более плотной среды (от нижней поверхности верхней границы клина, т.е. на границе воздух-стекло).

Условие образования тёмных интерференционных полос (минимумов) имеет вид:$ \Delta = (m + \frac{1}{2})\lambda $, где $ m = 0, 1, 2, ... $ — порядок интерференционного минимума.

Приравнивая два выражения для оптической разности хода, получаем условие для тёмных полос:$ 2dn + \frac{\lambda}{2} = (m + \frac{1}{2})\lambda $$ 2dn = m\lambda $

Толщина клина $ d $ на расстоянии $ x $ от его вершины связана с углом клина $ \alpha $ (для малых углов):$ d = x \cdot \tan(\alpha) \approx x \cdot \alpha $, где $ \alpha $ выражен в радианах.

Подставим это выражение в условие минимума:$ 2(x_m \alpha) n = m\lambda $Отсюда найдем координату $ x_m $ для $ m $-ой тёмной полосы:$ x_m = \frac{m\lambda}{2n\alpha} $

Ширина интерференционной полосы $ \Delta x $ — это расстояние между двумя соседними тёмными полосами:$ \Delta x = x_{m+1} - x_m = \frac{(m+1)\lambda}{2n\alpha} - \frac{m\lambda}{2n\alpha} = \frac{\lambda}{2n\alpha} $

Число полос, приходящихся на единицу длины клина, является величиной, обратной ширине одной полосы:$ \frac{N}{L} = \frac{1}{\Delta x} = \frac{2n\alpha}{\lambda} $

Подставим числовые значения:$ \frac{N}{L} = \frac{2 \cdot 1,5 \cdot (\pi / 32400)}{582 \cdot 10^{-9}} = \frac{3 \pi}{32400 \cdot 582 \cdot 10^{-9}} \approx \frac{9,425}{1,8857 \cdot 10^{-2}} \approx 499,8 \text{ м}^{-1} $

Округляя до целого числа, получаем 500 полос на метр.

Ответ: На единицу длины клина приходится примерно 500 тёмных интерференционных полос.