Номер 8.49, страница 187 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Колебания и волны. Глава 8. Волновая оптика. Интерференция света - номер 8.49, страница 187.

Условие.

8.49*. Установка для получения колец Ньютона освещается монохроматическим светом. Наблюдение ведётся в отражённом свете. Радиусы двух соседних тёмных колец равны соответственно 4 и 4,38 мм. Радиус кривизны линзы равен 6,4 м. Найдите порядковые номера колец и длину волны падающего света.

Решение.

Дано:

$r_k = 4 \text{ мм}$

$r_{k+1} = 4.38 \text{ мм}$

$R = 6.4 \text{ м}$

Перевод в систему СИ:

$r_k = 4 \times 10^{-3} \text{ м}$

$r_{k+1} = 4.38 \times 10^{-3} \text{ м}$

Найти:

$k, k+1, \lambda$

Решение:

Радиус $\text{k}$-го тёмного кольца Ньютона, наблюдаемого в отражённом свете, определяется формулой:

$r_k^2 = k R \lambda$

где $r_k$ — радиус кольца, $\text{k}$ — порядковый номер кольца (целое число, $k=1, 2, 3, ...$), $\text{R}$ — радиус кривизны линзы, а $\lambda$ — длина волны света.

Для двух соседних тёмных колец с порядковыми номерами $\text{k}$ и $k+1$ можно составить систему уравнений:

$r_k^2 = k R \lambda \quad (1)$

$r_{k+1}^2 = (k+1) R \lambda \quad (2)$

Чтобы определить порядковый номер $\text{k}$, разделим уравнение (2) на уравнение (1):

$\frac{r_{k+1}^2}{r_k^2} = \frac{(k+1) R \lambda}{k R \lambda} = \frac{k+1}{k} = 1 + \frac{1}{k}$

Выразим из этого соотношения $\text{k}$:

$\frac{1}{k} = \frac{r_{k+1}^2}{r_k^2} - 1 = \frac{r_{k+1}^2 - r_k^2}{r_k^2}$

$k = \frac{r_k^2}{r_{k+1}^2 - r_k^2}$

Подставим числовые значения в систему СИ:

$k = \frac{(4 \times 10^{-3})^2}{(4.38 \times 10^{-3})^2 - (4 \times 10^{-3})^2} = \frac{16 \times 10^{-6}}{19.1844 \times 10^{-6} - 16 \times 10^{-6}} = \frac{16}{3.1844} \approx 5.02$

Так как порядковый номер кольца $\text{k}$ должен быть целым числом, округляем полученное значение до ближайшего целого. Таким образом, $k = 5$.

Следовательно, порядковые номера двух соседних тёмных колец равны 5 и 6.

Теперь можем найти длину волны падающего света $\lambda$, используя уравнение (1) для $k=5$:

$\lambda = \frac{r_k^2}{k R}$

Подставим известные значения:

$\lambda = \frac{(4 \times 10^{-3})^2}{5 \times 6.4} = \frac{16 \times 10^{-6}}{32} = 0.5 \times 10^{-6} \text{ м}$

Длина волны света обычно выражается в нанометрах ($1 \text{ нм} = 10^{-9} \text{ м}$):

$\lambda = 0.5 \times 10^{-6} \text{ м} = 500 \times 10^{-9} \text{ м} = 500 \text{ нм}$

Ответ: порядковые номера колец – 5 и 6; длина волны падающего света – 500 нм.