Номер 8.60, страница 188 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Колебания и волны. Глава 8. Волновая оптика. Дифракция света. Дифракционная решётка - номер 8.60, страница 188.

Условие.

8.60*. Плоская световая волна падает нормально на отверстие, диаметр которого таков, что в нём укладывается только первая зона Френеля. Подобно линзе, такое отверстие обладает фокусирующим действием. Найдите фокусное расстояние отверстия диаметром 1 мм для излучения с длиной волны 550 нм.

Решение.

Дано:

Диаметр отверстия, $D = 1$ мм

Длина волны света, $\lambda = 550$ нм

Номер зоны Френеля, $m = 1$

Перевод в систему СИ:

$D = 1 \times 10^{-3}$ м

$\lambda = 550 \times 10^{-9}$ м $= 5.5 \times 10^{-7}$ м

Найти:

Фокусное расстояние отверстия, $\text{f}$

Решение:

Зоны Френеля — это участки волнового фронта, построенные так, что разность хода лучей от краев соседних зон до точки наблюдения составляет половину длины волны ($\lambda/2$). Для плоской волны, падающей нормально на круглое отверстие, радиус $\text{m}$-ой зоны Френеля $r_m$ для точки наблюдения P, расположенной на оси на расстоянии $\text{b}$ от отверстия, определяется из соотношения:

$r_m^2 + b^2 = (b + m\frac{\lambda}{2})^2$

Раскрывая скобки в правой части, получаем:

$r_m^2 + b^2 = b^2 + m b \lambda + \frac{m^2 \lambda^2}{4}$

Так как расстояние $\text{b}$ до точки наблюдения много больше длины волны $\lambda$, слагаемым $\frac{m^2 \lambda^2}{4}$ можно пренебречь. Тогда формула для радиуса зоны Френеля принимает вид:

$r_m^2 \approx m b \lambda$

Отверстие, открывающее нечетное число зон Френеля, создает в центре дифракционной картины максимум интенсивности. Наиболее яркий максимум (фокус) наблюдается, когда открыта только первая зона Френеля. В этом случае все вторичные волны от открытой части фронта приходят в точку наблюдения практически в одной фазе, усиливая друг друга. Расстояние $\text{b}$ до этой точки и есть фокусное расстояние $\text{f}$ такого отверстия.

Согласно условию задачи, диаметр отверстия $\text{D}$ таков, что в нём укладывается только первая зона Френеля ($m=1$). Это значит, что радиус отверстия $r = D/2$ равен радиусу первой зоны Френеля $r_1$ для точки, находящейся на фокусном расстоянии $\text{f}$ от него.

Подставляем в формулу $m=1$, $b=f$ и $r_1=r=D/2$:

$r_1^2 = 1 \cdot f \cdot \lambda$

$(\frac{D}{2})^2 = f \lambda$

$\frac{D^2}{4} = f \lambda$

Из этого выражения найдем фокусное расстояние $\text{f}$:

$f = \frac{D^2}{4\lambda}$

Подставим числовые значения в системе СИ:

$f = \frac{(1 \times 10^{-3})^2}{4 \times 550 \times 10^{-9}} = \frac{1 \times 10^{-6}}{2200 \times 10^{-9}} = \frac{1 \times 10^{-6}}{2.2 \times 10^{-6}} = \frac{1}{2.2} \approx 0.4545$ м

Округлив, получаем $f \approx 0.455$ м.

Ответ: фокусное расстояние отверстия составляет approximately 0.455 м или 45.5 см.