Номер 8.63, страница 188 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Колебания и волны. Глава 8. Волновая оптика. Дифракция света. Дифракционная решётка - номер 8.63, страница 188.

Условие.

8.63*. На диафрагму с круглым отверстием диаметром $d = 1,96 \, \text{мм}$ падает нормально параллельный пучок света с $\lambda = 600 \, \text{нм}$. На экране наблюдается дифракционная картина. При каком наибольшем расстоянии между диафрагмой и экраном в центре дифракционной картины ещё будет наблюдаться тёмное пятно?

Решение.

Дано:

Диаметр круглого отверстия $d = 1,96 \text{ мм} = 1,96 \cdot 10^{-3} \text{ м}$

Длина волны света $\lambda = 600 \text{ нм} = 600 \cdot 10^{-9} \text{ м} = 6 \cdot 10^{-7} \text{ м}$

Найти:

Наибольшее расстояние между диафрагмой и экраном $L_{max}$

Решение:

Данное явление описывается дифракцией Френеля на круглом отверстии. Условие наблюдения максимума или минимума интенсивности в центре дифракционной картины определяется числом зон Френеля, укладывающихся в отверстии.

Радиус $\text{m}$-ой зоны Френеля для точки на оси определяется формулой:

$r_m = \sqrt{m \lambda L}$

где $\text{L}$ – расстояние от отверстия до экрана, $\lambda$ – длина волны, $\text{m}$ – номер зоны ($m=1, 2, 3, ...$).

Число зон Френеля $\text{m}$, которые открыты отверстием радиусом $R = d/2$, можно найти из условия, что радиус отверстия равен радиусу $\text{m}$-ой зоны Френеля, $R = r_m$:

$R^2 = m \lambda L$

Отсюда, число открытых зон Френеля:

$m = \frac{R^2}{\lambda L}$

Темное пятно (минимум интенсивности) в центре дифракционной картины наблюдается, когда в отверстии укладывается четное число зон Френеля ($m = 2k$, где $\text{k}$ – целое положительное число: $k=1, 2, 3, ...$). При этом вклады от соседних зон взаимно гасятся.

Условие для наблюдения темного пятна:

$\frac{R^2}{\lambda L} = 2k$

Из этого условия выразим расстояние $\text{L}$:

$L = \frac{R^2}{2k \lambda}$

Чтобы найти наибольшее расстояние $L_{max}$, при котором еще будет наблюдаться темное пятно, необходимо взять наименьшее возможное значение $\text{k}$. Минимальное целое положительное значение $\text{k}$ равно 1. Это соответствует минимальному четному числу зон Френеля, $m = 2$.

Таким образом, для нахождения $L_{max}$ подставляем $k=1$:

$L_{max} = \frac{R^2}{2 \lambda}$

Радиус отверстия равен половине диаметра: $R = d/2 = 1,96 \cdot 10^{-3} / 2 = 0,98 \cdot 10^{-3} \text{ м}$.

Подставим числовые значения в формулу:

$L_{max} = \frac{(0,98 \cdot 10^{-3})^2}{2 \cdot 6 \cdot 10^{-7}} = \frac{0,9604 \cdot 10^{-6}}{12 \cdot 10^{-7}} = \frac{0,9604}{12} \cdot 10^1 \approx 0,80033 \text{ м}$

Округлим результат до трех значащих цифр.

$L_{max} \approx 0,800 \text{ м}$

Ответ:

Наибольшее расстояние, при котором в центре дифракционной картины еще будет наблюдаться темное пятно, составляет 0,800 м.