Номер 8.70, страница 189 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Колебания и волны. Глава 8. Волновая оптика. Дифракция света. Дифракционная решётка - номер 8.70, страница 189.

Условие.

8.70. Лазерный луч красного цвета падает нормально на дифракционную решётку с периодом $\text{d}$. На экране (рис. 8.14) точками обозначены положения максимумов дифракционной картины. Определите, как изменится положение максимумов, если:

а) увеличить период решётки;

б) приблизить решётку к экрану;

в) заменить луч красного цвета на луч зелёного цвета.

Рис. 8.14

Решение.

Решение

Положение максимумов в дифракционной картине, полученной с помощью дифракционной решетки, описывается формулой:

$d \sin\phi_k = k\lambda$

где $\text{d}$ — период решетки, $\phi_k$ — угол, под которым наблюдается максимум $\text{k}$-го порядка, $\text{k}$ — целое число, называемое порядком максимума ($k=0, \pm1, \pm2, ...$), а $\lambda$ — длина волны падающего света. Точка C на рисунке соответствует центральному максимуму ($k=0$), точки B и D — максимумам первого порядка ($k=\pm1$), а точки A и E — максимумам второго порядка ($k=\pm2$).

Расстояние $x_k$ на экране от центрального максимума до максимума $\text{k}$-го порядка определяется через расстояние $\text{L}$ от решетки до экрана и угол $\phi_k$:

$x_k = L \tan\phi_k$

Для малых углов дифракции справедливо приближение $\sin\phi_k \approx \tan\phi_k$. В этом случае положение максимумов можно выразить как:

$x_k \approx \frac{k\lambda L}{d}$

Эта формула наглядно показывает зависимость положения максимумов от параметров установки. Проанализируем каждый случай.

а) увеличить период решётки;

Из формулы $d \sin\phi_k = k\lambda$ следует, что $\sin\phi_k = \frac{k\lambda}{d}$. Если увеличить период решетки $\text{d}$, то значение $\sin\phi_k$ уменьшится для всех порядков $\text{k}$, кроме нулевого. Уменьшение синуса угла означает и уменьшение самого угла $\phi_k$. Так как $x_k = L \tan\phi_k$, а тангенс является возрастающей функцией для малых углов, то уменьшение угла $\phi_k$ приведет к уменьшению расстояния $x_k$. Таким образом, дифракционные максимумы сдвинутся ближе к центральному максимуму C.

Ответ: Расстояния от центрального максимума до остальных максимумов уменьшатся, то есть точки A, B, D, E приблизятся к точке C.

б) приблизить решётку к экрану;

Приближение решетки к экрану означает уменьшение расстояния $\text{L}$. Углы дифракции $\phi_k$ определяются только периодом решетки $\text{d}$ и длиной волны $\lambda$ и не зависят от $\text{L}$. Однако положение максимумов на экране $x_k$ прямо пропорционально расстоянию $\text{L}$ ($x_k = L \tan\phi_k$). Следовательно, при уменьшении $\text{L}$ расстояния $x_k$ до максимумов также пропорционально уменьшатся. Вся дифракционная картина сожмется к центру.

Ответ: Расстояния от центрального максимума до остальных максимумов уменьшатся, то есть точки A, B, D, E приблизятся к точке C.

в) заменить луч красного света на луч зелёного цвета.

Длина волны зеленого света ($\lambda_з$) меньше длины волны красного света ($\lambda_к$), то есть $\lambda_з < \lambda_к$. Из формулы $\sin\phi_k = \frac{k\lambda}{d}$ видно, что угол дифракции $\phi_k$ прямо пропорционален длине волны $\lambda$. При замене красного света на зеленый длина волны уменьшается, что приведет к уменьшению углов $\phi_k$. Поскольку $x_k = L \tan\phi_k$, уменьшение углов $\phi_k$ вызовет уменьшение расстояний $x_k$ на экране. Максимумы для зеленого света будут располагаться ближе к центру, чем для красного.

Ответ: Расстояния от центрального максимума до остальных максимумов уменьшатся, то есть точки A, B, D, E приблизятся к точке C.